Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31237 / 17453
↖ ↑ ↗
← N 64.060188°
W  8.410034°		 ← 267.20 m → N 64.060188°
W  8.404541°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
N 64.057785°
W  8.410034°		 ← 267.23 m →
71 400 m²		 N 64.057785°
W  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476646423339844 y=0.266319274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476646423339844 × 216)
    floor (0.476646423339844 × 65536)
    floor (31237.5)     		tx = 31237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266319274902344 × 216)
    floor (0.266319274902344 × 65536)
    floor (17453.5)     		ty = 17453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31237 / 17453 ti = "16/31237/17453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31237/17453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31237 ÷ 216
    31237 ÷ 65536     		x = 0.476638793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17453 ÷ 216
    17453 ÷ 65536     		y = 0.266311645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476638793945312 × 2 - 1) × π
    -0.046722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14678279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266311645507812 × 2 - 1) × π
    0.467376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46830723536232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14678279} λ = -0.14678279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46830723536232))-π/2
    2×atan(4.34187913736299)-π/2
    2×1.34442876239573-π/2
    2.68885752479146-1.57079632675     		φ = 1.11806120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14678279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.410034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11806120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.060188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31237 KachelY 17453 -0.14678279 1.11806120 -8.410034 64.060188
    Oben rechts KachelX + 1 31238 KachelY 17453 -0.14668691 1.11806120 -8.404541 64.060188
    Unten links KachelX 31237 KachelY + 1 17454 -0.14678279 1.11801926 -8.410034 64.057785
    Unten rechts KachelX + 1 31238 KachelY + 1 17454 -0.14668691 1.11801926 -8.404541 64.057785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11806120-1.11801926) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dl = 267.199740000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11806120-1.11801926) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dr = 267.199740000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14678279--0.14668691) × cos(1.11806120) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.43742674106769 × 6371000     		do = 267.202772172755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14678279--0.14668691) × cos(1.11801926) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437464455397821 × 6371000     		du = 267.225810027133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11806120)-sin(1.11801926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43742674106769-0.437464455397821)×R²
    abs(-0.14668691--0.14678279)×3.77143301314442e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.77143301314442e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.77143301314442e-05×40589641000000     		ar = 71399.5891163549m²