Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31237 / 17114
↖ ↑ ↗
← N 64.862941°
W  8.410034°		 ← 259.48 m → N 64.862941°
W  8.404541°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
N 64.860608°
W  8.410034°		 ← 259.50 m →
67 336 m²		 N 64.860608°
W  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476646423339844 y=0.261146545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476646423339844 × 216)
    floor (0.476646423339844 × 65536)
    floor (31237.5)     		tx = 31237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261146545410156 × 216)
    floor (0.261146545410156 × 65536)
    floor (17114.5)     		ty = 17114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31237 / 17114 ti = "16/31237/17114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31237/17114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31237 ÷ 216
    31237 ÷ 65536     		x = 0.476638793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17114 ÷ 216
    17114 ÷ 65536     		y = 0.261138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476638793945312 × 2 - 1) × π
    -0.046722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14678279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261138916015625 × 2 - 1) × π
    0.47772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50080845330472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14678279} λ = -0.14678279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50080845330472))-π/2
    2×atan(4.48531377168116)-π/2
    2×1.35143410830988-π/2
    2.70286821661976-1.57079632675     		φ = 1.13207189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14678279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.410034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13207189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.862941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31237 KachelY 17114 -0.14678279 1.13207189 -8.410034 64.862941
    Oben rechts KachelX + 1 31238 KachelY 17114 -0.14668691 1.13207189 -8.404541 64.862941
    Unten links KachelX 31237 KachelY + 1 17115 -0.14678279 1.13203116 -8.410034 64.860608
    Unten rechts KachelX + 1 31238 KachelY + 1 17115 -0.14668691 1.13203116 -8.404541 64.860608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13207189-1.13203116) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13207189-1.13203116) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14678279--0.14668691) × cos(1.13207189) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424785050932793 × 6371000     		do = 259.480577044152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14678279--0.14668691) × cos(1.13203116) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424821923214823 × 6371000     		du = 259.503100532201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13207189)-sin(1.13203116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424785050932793-0.424821923214823)×R²
    abs(-0.14668691--0.14678279)×3.68722820294209e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68722820294209e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68722820294209e-05×40589641000000     		ar = 67335.7526351365m²