Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31237 / 17113
↖ ↑ ↗
← N 64.865274°
W  8.410034°		 ← 259.46 m → N 64.865274°
W  8.404541°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 64.862941°
W  8.410034°		 ← 259.48 m →
67 313 m²		 N 64.862941°
W  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476646423339844 y=0.261131286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476646423339844 × 216)
    floor (0.476646423339844 × 65536)
    floor (31237.5)     		tx = 31237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261131286621094 × 216)
    floor (0.261131286621094 × 65536)
    floor (17113.5)     		ty = 17113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31237 / 17113 ti = "16/31237/17113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31237/17113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31237 ÷ 216
    31237 ÷ 65536     		x = 0.476638793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17113 ÷ 216
    17113 ÷ 65536     		y = 0.261123657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476638793945312 × 2 - 1) × π
    -0.046722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14678279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261123657226562 × 2 - 1) × π
    0.477752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50090432710396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14678279} λ = -0.14678279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50090432710396))-π/2
    2×atan(4.48574381636792)-π/2
    2×1.35145447030457-π/2
    2.70290894060914-1.57079632675     		φ = 1.13211261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14678279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.410034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13211261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.865274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31237 KachelY 17113 -0.14678279 1.13211261 -8.410034 64.865274
    Oben rechts KachelX + 1 31238 KachelY 17113 -0.14668691 1.13211261 -8.404541 64.865274
    Unten links KachelX 31237 KachelY + 1 17114 -0.14678279 1.13207189 -8.410034 64.862941
    Unten rechts KachelX + 1 31238 KachelY + 1 17114 -0.14668691 1.13207189 -8.404541 64.862941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13211261-1.13207189) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dl = 259.42712000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13211261-1.13207189) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dr = 259.42712000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14678279--0.14668691) × cos(1.13211261) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424748186999189 × 6371000     		do = 259.458058655752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14678279--0.14668691) × cos(1.13207189) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424785050932793 × 6371000     		du = 259.480577044152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13211261)-sin(1.13207189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424748186999189-0.424785050932793)×R²
    abs(-0.14668691--0.14678279)×3.68639336040255e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68639336040255e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68639336040255e-05×40589641000000     		ar = 67313.3778673801m²