Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31236 / 38395
↖ ↑ ↗
← S 29.511330°
W  8.415527°		 ← 531.54 m → S 29.511330°
W  8.410034°		 →
↑
531.53 m
↓
↑
531.53 m
↓
S 29.516110°
W  8.415527°		 ← 531.52 m →
282 526 m²		 S 29.516110°
W  8.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476631164550781 y=0.585868835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476631164550781 × 216)
    floor (0.476631164550781 × 65536)
    floor (31236.5)     		tx = 31236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585868835449219 × 216)
    floor (0.585868835449219 × 65536)
    floor (38395.5)     		ty = 38395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31236 / 38395 ti = "16/31236/38395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31236/38395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31236 ÷ 216
    31236 ÷ 65536     		x = 0.47662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38395 ÷ 216
    38395 ÷ 65536     		y = 0.585861206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.0467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14687866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585861206054688 × 2 - 1) × π
    -0.171722412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.539481868324112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14687866} λ = -0.14687866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539481868324112))-π/2
    2×atan(0.583050270938549)-π/2
    2×0.527863225594551-π/2
    1.0557264511891-1.57079632675     		φ = -0.51506988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14687866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.415527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51506988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.511330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31236 KachelY 38395 -0.14687866 -0.51506988 -8.415527 -29.511330
    Oben rechts KachelX + 1 31237 KachelY 38395 -0.14678279 -0.51506988 -8.410034 -29.511330
    Unten links KachelX 31236 KachelY + 1 38396 -0.14687866 -0.51515331 -8.415527 -29.516110
    Unten rechts KachelX + 1 31237 KachelY + 1 38396 -0.14678279 -0.51515331 -8.410034 -29.516110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51506988--0.51515331) × R
    8.34299999999955e-05 × 6371000     		dl = 531.532529999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51506988--0.51515331) × R
    8.34299999999955e-05 × 6371000     		dr = 531.532529999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14687866--0.14678279) × cos(-0.51506988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87025830183793 × 6371000     		do = 531.543127503564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14687866--0.14678279) × cos(-0.51515331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.870217201552995 × 6371000     		du = 531.518023952182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51506988)-sin(-0.51515331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87025830183793-0.870217201552995)×R²
    abs(-0.14678279--0.14687866)×4.11002849353137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11002849353137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11002849353137e-05×40589641000000     		ar = 282525.791852805m²