Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31236 / 14851
↖ ↑ ↗
← N 69.651357°
W  8.415527°		 ← 212.39 m → N 69.651357°
W  8.410034°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
N 69.649446°
W  8.415527°		 ← 212.41 m →
45 116 m²		 N 69.649446°
W  8.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476631164550781 y=0.226615905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476631164550781 × 216)
    floor (0.476631164550781 × 65536)
    floor (31236.5)     		tx = 31236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226615905761719 × 216)
    floor (0.226615905761719 × 65536)
    floor (14851.5)     		ty = 14851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31236 / 14851 ti = "16/31236/14851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31236/14851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31236 ÷ 216
    31236 ÷ 65536     		x = 0.47662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14851 ÷ 216
    14851 ÷ 65536     		y = 0.226608276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.0467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14687866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226608276367188 × 2 - 1) × π
    0.546783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71777086098509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14687866} λ = -0.14687866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71777086098509))-π/2
    2×atan(5.57209363862309)-π/2
    2×1.39322091398547-π/2
    2.78644182797094-1.57079632675     		φ = 1.21564550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14687866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.415527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21564550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.651357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31236 KachelY 14851 -0.14687866 1.21564550 -8.415527 69.651357
    Oben rechts KachelX + 1 31237 KachelY 14851 -0.14678279 1.21564550 -8.410034 69.651357
    Unten links KachelX 31236 KachelY + 1 14852 -0.14687866 1.21561216 -8.415527 69.649446
    Unten rechts KachelX + 1 31237 KachelY + 1 14852 -0.14678279 1.21561216 -8.410034 69.649446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21564550-1.21561216) × R
    3.33399999998818e-05 × 6371000     		dl = 212.409139999247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21564550-1.21561216) × R
    3.33399999998818e-05 × 6371000     		dr = 212.409139999247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14687866--0.14678279) × cos(1.21564550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347731783496285 × 6371000     		do = 212.390320599814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14687866--0.14678279) × cos(1.21561216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347763042688718 × 6371000     		du = 212.409413332252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21564550)-sin(1.21561216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347731783496285-0.347763042688718)×R²
    abs(-0.14678279--0.14687866)×3.12591924332972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12591924332972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12591924332972e-05×40589641000000     		ar = 45115.673082216m²