Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31236 / 13892
↖ ↑ ↗
← N 71.406172°
W  8.415527°		 ← 194.75 m → N 71.406172°
W  8.410034°		 →
↑
194.76 m
↓
↑
194.76 m
↓
N 71.404421°
W  8.415527°		 ← 194.77 m →
37 932 m²		 N 71.404421°
W  8.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476631164550781 y=0.211982727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476631164550781 × 216)
    floor (0.476631164550781 × 65536)
    floor (31236.5)     		tx = 31236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211982727050781 × 216)
    floor (0.211982727050781 × 65536)
    floor (13892.5)     		ty = 13892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31236 / 13892 ti = "16/31236/13892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31236/13892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31236 ÷ 216
    31236 ÷ 65536     		x = 0.47662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13892 ÷ 216
    13892 ÷ 65536     		y = 0.21197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.0467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14687866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21197509765625 × 2 - 1) × π
    0.5760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80971383445636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14687866} λ = -0.14687866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80971383445636))-π/2
    2×atan(6.10869908288988)-π/2
    2×1.40853456692556-π/2
    2.81706913385112-1.57079632675     		φ = 1.24627281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14687866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.415527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24627281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.406172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31236 KachelY 13892 -0.14687866 1.24627281 -8.415527 71.406172
    Oben rechts KachelX + 1 31237 KachelY 13892 -0.14678279 1.24627281 -8.410034 71.406172
    Unten links KachelX 31236 KachelY + 1 13893 -0.14687866 1.24624224 -8.415527 71.404421
    Unten rechts KachelX + 1 31237 KachelY + 1 13893 -0.14678279 1.24624224 -8.410034 71.404421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24627281-1.24624224) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dl = 194.761470000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24627281-1.24624224) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dr = 194.761470000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14687866--0.14678279) × cos(1.24627281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318857209971313 × 6371000     		do = 194.754084226796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14687866--0.14678279) × cos(1.24624224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318886184152817 × 6371000     		du = 194.771781302504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24627281)-sin(1.24624224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318857209971313-0.318886184152817)×R²
    abs(-0.14678279--0.14687866)×2.8974181504271e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8974181504271e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8974181504271e-05×40589641000000     		ar = 37932.3150897872m²