Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31235 / 19710
↖ ↑ ↗
← N 58.083685°
W  8.421020°		 ← 322.91 m → N 58.083685°
W  8.415527°		 →
↑
322.88 m
↓
↑
322.88 m
↓
N 58.080781°
W  8.421020°		 ← 322.94 m →
104 267 m²		 N 58.080781°
W  8.415527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476615905761719 y=0.300758361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476615905761719 × 216)
    floor (0.476615905761719 × 65536)
    floor (31235.5)     		tx = 31235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300758361816406 × 216)
    floor (0.300758361816406 × 65536)
    floor (19710.5)     		ty = 19710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31235 / 19710 ti = "16/31235/19710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31235/19710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31235 ÷ 216
    31235 ÷ 65536     		x = 0.476608276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19710 ÷ 216
    19710 ÷ 65536     		y = 0.300750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476608276367188 × 2 - 1) × π
    -0.046783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14697453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300750732421875 × 2 - 1) × π
    0.39849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25192007047739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14697453} λ = -0.14697453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25192007047739))-π/2
    2×atan(3.49705109992267)-π/2
    2×1.29227393579892-π/2
    2.58454787159785-1.57079632675     		φ = 1.01375154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14697453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.421020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01375154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.083685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31235 KachelY 19710 -0.14697453 1.01375154 -8.421020 58.083685
    Oben rechts KachelX + 1 31236 KachelY 19710 -0.14687866 1.01375154 -8.415527 58.083685
    Unten links KachelX 31235 KachelY + 1 19711 -0.14697453 1.01370086 -8.421020 58.080781
    Unten rechts KachelX + 1 31236 KachelY + 1 19711 -0.14687866 1.01370086 -8.415527 58.080781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01375154-1.01370086) × R
    5.06799999999696e-05 × 6371000     		dl = 322.882279999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01375154-1.01370086) × R
    5.06799999999696e-05 × 6371000     		dr = 322.882279999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14697453--0.14687866) × cos(1.01375154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52868006257459 × 6371000     		do = 322.911316463387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14697453--0.14687866) × cos(1.01370086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528723080152901 × 6371000     		du = 322.937591074115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01375154)-sin(1.01370086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52868006257459-0.528723080152901)×R²
    abs(-0.14687866--0.14697453)×4.30175783117104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30175783117104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30175783117104e-05×40589641000000     		ar = 104266.583922598m²