Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31234 / 38408
↖ ↑ ↗
← S 29.573457°
W  8.426514°		 ← 531.27 m → S 29.573457°
W  8.421020°		 →
↑
531.21 m
↓
↑
531.21 m
↓
S 29.578235°
W  8.426514°		 ← 531.25 m →
282 212 m²		 S 29.578235°
W  8.421020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476600646972656 y=0.586067199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476600646972656 × 216)
    floor (0.476600646972656 × 65536)
    floor (31234.5)     		tx = 31234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586067199707031 × 216)
    floor (0.586067199707031 × 65536)
    floor (38408.5)     		ty = 38408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31234 / 38408 ti = "16/31234/38408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31234/38408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31234 ÷ 216
    31234 ÷ 65536     		x = 0.476593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38408 ÷ 216
    38408 ÷ 65536     		y = 0.5860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.04681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14707041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5860595703125 × 2 - 1) × π
    -0.172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.540728227714233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14707041} λ = -0.14707041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540728227714233))-π/2
    2×atan(0.582324033428934)-π/2
    2×0.527321064843488-π/2
    1.05464212968698-1.57079632675     		φ = -0.51615420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14707041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.426514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51615420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.573457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31234 KachelY 38408 -0.14707041 -0.51615420 -8.426514 -29.573457
    Oben rechts KachelX + 1 31235 KachelY 38408 -0.14697453 -0.51615420 -8.421020 -29.573457
    Unten links KachelX 31234 KachelY + 1 38409 -0.14707041 -0.51623758 -8.426514 -29.578235
    Unten rechts KachelX + 1 31235 KachelY + 1 38409 -0.14697453 -0.51623758 -8.421020 -29.578235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51615420--0.51623758) × R
    8.33799999999663e-05 × 6371000     		dl = 531.213979999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51615420--0.51623758) × R
    8.33799999999663e-05 × 6371000     		dr = 531.213979999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14707041--0.14697453) × cos(-0.51615420) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.86972365900934 × 6371000     		do = 531.271984296984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14707041--0.14697453) × cos(-0.51623758) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.86968250470326 × 6371000     		du = 531.246845128206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51615420)-sin(-0.51623758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86972365900934-0.86968250470326)×R²
    abs(-0.14697453--0.14707041)×4.11543060800934e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.11543060800934e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.11543060800934e-05×40589641000000     		ar = 282212.428265327m²