Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31234 / 38396
↖ ↑ ↗
← S 29.516110°
W  8.426514°		 ← 531.57 m → S 29.516110°
W  8.421020°		 →
↑
531.53 m
↓
↑
531.53 m
↓
S 29.520891°
W  8.426514°		 ← 531.55 m →
282 542 m²		 S 29.520891°
W  8.421020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476600646972656 y=0.585884094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476600646972656 × 216)
    floor (0.476600646972656 × 65536)
    floor (31234.5)     		tx = 31234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585884094238281 × 216)
    floor (0.585884094238281 × 65536)
    floor (38396.5)     		ty = 38396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31234 / 38396 ti = "16/31234/38396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31234/38396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31234 ÷ 216
    31234 ÷ 65536     		x = 0.476593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38396 ÷ 216
    38396 ÷ 65536     		y = 0.58587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.04681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14707041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58587646484375 × 2 - 1) × π
    -0.1717529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539577742123352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14707041} λ = -0.14707041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539577742123352))-π/2
    2×atan(0.582994374373477)-π/2
    2×0.527821509094718-π/2
    1.05564301818944-1.57079632675     		φ = -0.51515331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14707041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.426514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51515331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.516110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31234 KachelY 38396 -0.14707041 -0.51515331 -8.426514 -29.516110
    Oben rechts KachelX + 1 31235 KachelY 38396 -0.14697453 -0.51515331 -8.421020 -29.516110
    Unten links KachelX 31234 KachelY + 1 38397 -0.14707041 -0.51523674 -8.426514 -29.520891
    Unten rechts KachelX + 1 31235 KachelY + 1 38397 -0.14697453 -0.51523674 -8.421020 -29.520891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51515331--0.51523674) × R
    8.34299999999955e-05 × 6371000     		dl = 531.532529999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51515331--0.51523674) × R
    8.34299999999955e-05 × 6371000     		dr = 531.532529999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14707041--0.14697453) × cos(-0.51515331) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.870217201552995 × 6371000     		do = 531.573465490218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14707041--0.14697453) × cos(-0.51523674) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.870176095210856 × 6371000     		du = 531.548355620285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51515331)-sin(-0.51523674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870217201552995-0.870176095210856)×R²
    abs(-0.14697453--0.14707041)×4.11063421384972e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.11063421384972e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.11063421384972e-05×40589641000000     		ar = 282541.915800398m²