Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31234 / 17470
↖ ↑ ↗
← N 64.019309°
W  8.426514°		 ← 267.59 m → N 64.019309°
W  8.421020°		 →
↑
267.58 m
↓
↑
267.58 m
↓
N 64.016903°
W  8.426514°		 ← 267.62 m →
71 607 m²		 N 64.016903°
W  8.421020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476600646972656 y=0.266578674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476600646972656 × 216)
    floor (0.476600646972656 × 65536)
    floor (31234.5)     		tx = 31234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266578674316406 × 216)
    floor (0.266578674316406 × 65536)
    floor (17470.5)     		ty = 17470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31234 / 17470 ti = "16/31234/17470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31234/17470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31234 ÷ 216
    31234 ÷ 65536     		x = 0.476593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17470 ÷ 216
    17470 ÷ 65536     		y = 0.266571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.04681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14707041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266571044921875 × 2 - 1) × π
    0.46685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46667738077524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14707041} λ = -0.14707041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46667738077524))-π/2
    2×atan(4.33480826954285)-π/2
    2×1.34407203007517-π/2
    2.68814406015035-1.57079632675     		φ = 1.11734773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14707041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.426514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11734773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.019309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31234 KachelY 17470 -0.14707041 1.11734773 -8.426514 64.019309
    Oben rechts KachelX + 1 31235 KachelY 17470 -0.14697453 1.11734773 -8.421020 64.019309
    Unten links KachelX 31234 KachelY + 1 17471 -0.14707041 1.11730573 -8.426514 64.016903
    Unten rechts KachelX + 1 31235 KachelY + 1 17471 -0.14697453 1.11730573 -8.421020 64.016903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11734773-1.11730573) × R
    4.20000000000975e-05 × 6371000     		dl = 267.582000000621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11734773-1.11730573) × R
    4.20000000000975e-05 × 6371000     		dr = 267.582000000621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14707041--0.14697453) × cos(1.11734773) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.438068220466487 × 6371000     		do = 267.594620812977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14707041--0.14697453) × cos(1.11730573) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.438105975632767 × 6371000     		du = 267.617683612176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11734773)-sin(1.11730573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438068220466487-0.438105975632767)×R²
    abs(-0.14697453--0.14707041)×3.77551662794073e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.77551662794073e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.77551662794073e-05×40589641000000     		ar = 71606.5894318457m²