Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31234 / 13921
↖ ↑ ↗
← N 71.355311°
W  8.426514°		 ← 195.29 m → N 71.355311°
W  8.421020°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 71.353554°
W  8.426514°		 ← 195.31 m →
38 148 m²		 N 71.353554°
W  8.421020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476600646972656 y=0.212425231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476600646972656 × 216)
    floor (0.476600646972656 × 65536)
    floor (31234.5)     		tx = 31234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212425231933594 × 216)
    floor (0.212425231933594 × 65536)
    floor (13921.5)     		ty = 13921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31234 / 13921 ti = "16/31234/13921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31234/13921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31234 ÷ 216
    31234 ÷ 65536     		x = 0.476593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13921 ÷ 216
    13921 ÷ 65536     		y = 0.212417602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.04681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14707041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212417602539062 × 2 - 1) × π
    0.575164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8069334942784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14707041} λ = -0.14707041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8069334942784))-π/2
    2×atan(6.09173841053994)-π/2
    2×1.40809071666052-π/2
    2.81618143332103-1.57079632675     		φ = 1.24538511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14707041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.426514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24538511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.355311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31234 KachelY 13921 -0.14707041 1.24538511 -8.426514 71.355311
    Oben rechts KachelX + 1 31235 KachelY 13921 -0.14697453 1.24538511 -8.421020 71.355311
    Unten links KachelX 31234 KachelY + 1 13922 -0.14707041 1.24535445 -8.426514 71.353554
    Unten rechts KachelX + 1 31235 KachelY + 1 13922 -0.14697453 1.24535445 -8.421020 71.353554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24538511-1.24535445) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24538511-1.24535445) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14707041--0.14697453) × cos(1.24538511) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.319698448742978 × 6371000     		do = 195.288270568394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14707041--0.14697453) × cos(1.24535445) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.319727499535709 × 6371000     		du = 195.306016288129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24538511)-sin(1.24535445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319698448742978-0.319727499535709)×R²
    abs(-0.14697453--0.14707041)×2.9050792731411e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.9050792731411e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.9050792731411e-05×40589641000000     		ar = 38148.3401729186m²