Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31233 / 38403
↖ ↑ ↗
← S 29.549567°
W  8.432007°		 ← 531.34 m → S 29.549567°
W  8.426514°		 →
↑
531.34 m
↓
↑
531.34 m
↓
S 29.554345°
W  8.432007°		 ← 531.32 m →
282 317 m²		 S 29.554345°
W  8.426514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476585388183594 y=0.585990905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476585388183594 × 216)
    floor (0.476585388183594 × 65536)
    floor (31233.5)     		tx = 31233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585990905761719 × 216)
    floor (0.585990905761719 × 65536)
    floor (38403.5)     		ty = 38403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31233 / 38403 ti = "16/31233/38403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31233/38403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31233 ÷ 216
    31233 ÷ 65536     		x = 0.476577758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38403 ÷ 216
    38403 ÷ 65536     		y = 0.585983276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476577758789062 × 2 - 1) × π
    -0.046844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14716628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585983276367188 × 2 - 1) × π
    -0.171966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.540248858718033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14716628} λ = -0.14716628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540248858718033))-π/2
    2×atan(0.582603248434464)-π/2
    2×0.527529548777839-π/2
    1.05505909755568-1.57079632675     		φ = -0.51573723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14716628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.432007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51573723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.549567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31233 KachelY 38403 -0.14716628 -0.51573723 -8.432007 -29.549567
    Oben rechts KachelX + 1 31234 KachelY 38403 -0.14707041 -0.51573723 -8.426514 -29.549567
    Unten links KachelX 31233 KachelY + 1 38404 -0.14716628 -0.51582063 -8.432007 -29.554345
    Unten rechts KachelX + 1 31234 KachelY + 1 38404 -0.14707041 -0.51582063 -8.426514 -29.554345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51573723--0.51582063) × R
    8.33999999999557e-05 × 6371000     		dl = 531.341399999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51573723--0.51582063) × R
    8.33999999999557e-05 × 6371000     		dr = 531.341399999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14716628--0.14707041) × cos(-0.51573723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869929374358653 × 6371000     		do = 531.342222622005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14716628--0.14707041) × cos(-0.51582063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869888240428104 × 6371000     		du = 531.317098520294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51573723)-sin(-0.51582063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869929374358653-0.869888240428104)×R²
    abs(-0.14707041--0.14716628)×4.11339305493863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11339305493863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11339305493863e-05×40589641000000     		ar = 282317.445873008m²