Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31232 / 38404
↖ ↑ ↗
← S 29.554345°
W  8.437500°		 ← 531.37 m → S 29.554345°
W  8.432007°		 →
↑
531.34 m
↓
↑
531.34 m
↓
S 29.559124°
W  8.437500°		 ← 531.35 m →
282 334 m²		 S 29.559124°
W  8.432007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476570129394531 y=0.586006164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476570129394531 × 216)
    floor (0.476570129394531 × 65536)
    floor (31232.5)     		tx = 31232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586006164550781 × 216)
    floor (0.586006164550781 × 65536)
    floor (38404.5)     		ty = 38404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31232 / 38404 ti = "16/31232/38404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31232/38404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31232 ÷ 216
    31232 ÷ 65536     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38404 ÷ 216
    38404 ÷ 65536     		y = 0.58599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.1719970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.540344732517273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540344732517273))-π/2
    2×atan(0.582547394725083)-π/2
    2×0.527487848046643-π/2
    1.05497569609329-1.57079632675     		φ = -0.51582063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51582063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.554345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31232 KachelY 38404 -0.14726216 -0.51582063 -8.437500 -29.554345
    Oben rechts KachelX + 1 31233 KachelY 38404 -0.14716628 -0.51582063 -8.432007 -29.554345
    Unten links KachelX 31232 KachelY + 1 38405 -0.14726216 -0.51590403 -8.437500 -29.559124
    Unten rechts KachelX + 1 31233 KachelY + 1 38405 -0.14716628 -0.51590403 -8.432007 -29.559124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51582063--0.51590403) × R
    8.33999999999557e-05 × 6371000     		dl = 531.341399999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51582063--0.51590403) × R
    8.33999999999557e-05 × 6371000     		dr = 531.341399999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14716628) × cos(-0.51582063) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.869888240428104 × 6371000     		do = 531.372519100062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14716628) × cos(-0.51590403) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.869847100446995 × 6371000     		du = 531.347388681715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51582063)-sin(-0.51590403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869888240428104-0.869847100446995)×R²
    abs(-0.14716628--0.14726216)×4.11399811093283e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.11399811093283e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.11399811093283e-05×40589641000000     		ar = 282333.54196769m²