Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31232 / 14845
↖ ↑ ↗
← N 69.662815°
W  8.437500°		 ← 212.30 m → N 69.662815°
W  8.432007°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
N 69.660905°
W  8.437500°		 ← 212.32 m →
45 069 m²		 N 69.660905°
W  8.432007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476570129394531 y=0.226524353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476570129394531 × 216)
    floor (0.476570129394531 × 65536)
    floor (31232.5)     		tx = 31232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226524353027344 × 216)
    floor (0.226524353027344 × 65536)
    floor (14845.5)     		ty = 14845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31232 / 14845 ti = "16/31232/14845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31232/14845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31232 ÷ 216
    31232 ÷ 65536     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14845 ÷ 216
    14845 ÷ 65536     		y = 0.226516723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226516723632812 × 2 - 1) × π
    0.546966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71834610378053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71834610378053))-π/2
    2×atan(5.57529986743583)-π/2
    2×1.39332090211965-π/2
    2.7866418042393-1.57079632675     		φ = 1.21584548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21584548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.662815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31232 KachelY 14845 -0.14726216 1.21584548 -8.437500 69.662815
    Oben rechts KachelX + 1 31233 KachelY 14845 -0.14716628 1.21584548 -8.432007 69.662815
    Unten links KachelX 31232 KachelY + 1 14846 -0.14726216 1.21581216 -8.437500 69.660905
    Unten rechts KachelX + 1 31233 KachelY + 1 14846 -0.14716628 1.21581216 -8.432007 69.660905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21584548-1.21581216) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dl = 212.281720000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21584548-1.21581216) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dr = 212.281720000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14716628) × cos(1.21584548) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.347544276485728 × 6371000     		do = 212.29793565682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14716628) × cos(1.21581216) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.347575519243044 × 6371000     		du = 212.317020341366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21584548)-sin(1.21581216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347544276485728-0.347575519243044)×R²
    abs(-0.14716628--0.14726216)×3.12427573164187e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.12427573164187e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.12427573164187e-05×40589641000000     		ar = 45068.9966025315m²