Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31231 / 38406
↖ ↑ ↗
← S 29.563901°
W  8.442993°		 ← 531.27 m → S 29.563901°
W  8.437500°		 →
↑
531.28 m
↓
↑
531.28 m
↓
S 29.568679°
W  8.442993°		 ← 531.24 m →
282 244 m²		 S 29.568679°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476554870605469 y=0.586036682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476554870605469 × 216)
    floor (0.476554870605469 × 65536)
    floor (31231.5)     		tx = 31231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586036682128906 × 216)
    floor (0.586036682128906 × 65536)
    floor (38406.5)     		ty = 38406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31231 / 38406 ti = "16/31231/38406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31231/38406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31231 ÷ 216
    31231 ÷ 65536     		x = 0.476547241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38406 ÷ 216
    38406 ÷ 65536     		y = 0.586029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476547241210938 × 2 - 1) × π
    -0.046905517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14735803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586029052734375 × 2 - 1) × π
    -0.17205810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.540536480115753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14735803} λ = -0.14735803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540536480115753))-π/2
    2×atan(0.58243570336976)-π/2
    2×0.527404452500347-π/2
    1.05480890500069-1.57079632675     		φ = -0.51598742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14735803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.442993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51598742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.563901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31231 KachelY 38406 -0.14735803 -0.51598742 -8.442993 -29.563901
    Oben rechts KachelX + 1 31232 KachelY 38406 -0.14726216 -0.51598742 -8.437500 -29.563901
    Unten links KachelX 31231 KachelY + 1 38407 -0.14735803 -0.51607081 -8.442993 -29.568679
    Unten rechts KachelX + 1 31232 KachelY + 1 38407 -0.14726216 -0.51607081 -8.437500 -29.568679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51598742--0.51607081) × R
    8.33900000000165e-05 × 6371000     		dl = 531.277690000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51598742--0.51607081) × R
    8.33900000000165e-05 × 6371000     		dr = 531.277690000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14735803--0.14726216) × cos(-0.51598742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869805959349551 × 6371000     		do = 531.266842243811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14735803--0.14726216) × cos(-0.51607081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869764812203571 × 6371000     		du = 531.241710070276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51598742)-sin(-0.51607081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869805959349551-0.869764812203571)×R²
    abs(-0.14726216--0.14735803)×4.1147145980247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1147145980247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1147145980247e-05×40589641000000     		ar = 282243.544802906m²