Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31231 / 13918
↖ ↑ ↗
← N 71.360578°
W  8.442993°		 ← 195.21 m → N 71.360578°
W  8.437500°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 71.358822°
W  8.442993°		 ← 195.23 m →
38 122 m²		 N 71.358822°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476554870605469 y=0.212379455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476554870605469 × 216)
    floor (0.476554870605469 × 65536)
    floor (31231.5)     		tx = 31231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212379455566406 × 216)
    floor (0.212379455566406 × 65536)
    floor (13918.5)     		ty = 13918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31231 / 13918 ti = "16/31231/13918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31231/13918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31231 ÷ 216
    31231 ÷ 65536     		x = 0.476547241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13918 ÷ 216
    13918 ÷ 65536     		y = 0.212371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476547241210938 × 2 - 1) × π
    -0.046905517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14735803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212371826171875 × 2 - 1) × π
    0.57525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80722111567612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14735803} λ = -0.14735803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80722111567612))-π/2
    2×atan(6.09349077685307)-π/2
    2×1.40813668645398-π/2
    2.81627337290795-1.57079632675     		φ = 1.24547705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14735803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.442993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24547705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.360578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31231 KachelY 13918 -0.14735803 1.24547705 -8.442993 71.360578
    Oben rechts KachelX + 1 31232 KachelY 13918 -0.14726216 1.24547705 -8.437500 71.360578
    Unten links KachelX 31231 KachelY + 1 13919 -0.14735803 1.24544640 -8.442993 71.358822
    Unten rechts KachelX + 1 31232 KachelY + 1 13919 -0.14726216 1.24544640 -8.437500 71.358822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24547705-1.24544640) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24547705-1.24544640) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14735803--0.14726216) × cos(1.24547705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319611332463675 × 6371000     		do = 195.214693022212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14735803--0.14726216) × cos(1.24544640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319640374682127 × 6371000     		du = 195.232431654056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24547705)-sin(1.24544640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319611332463675-0.319640374682127)×R²
    abs(-0.14726216--0.14735803)×2.90422184520134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90422184520134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90422184520134e-05×40589641000000     		ar = 38121.5295276736m²