Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31230 / 17338
↖ ↑ ↗
← N 64.335150°
W  8.448486°		 ← 264.54 m → N 64.335150°
W  8.442993°		 →
↑
264.52 m
↓
↑
264.52 m
↓
N 64.332771°
W  8.448486°		 ← 264.56 m →
69 979 m²		 N 64.332771°
W  8.442993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476539611816406 y=0.264564514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476539611816406 × 216)
    floor (0.476539611816406 × 65536)
    floor (31230.5)     		tx = 31230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264564514160156 × 216)
    floor (0.264564514160156 × 65536)
    floor (17338.5)     		ty = 17338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31230 / 17338 ti = "16/31230/17338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31230/17338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31230 ÷ 216
    31230 ÷ 65536     		x = 0.476531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17338 ÷ 216
    17338 ÷ 65536     		y = 0.264556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476531982421875 × 2 - 1) × π
    -0.04693603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14745390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264556884765625 × 2 - 1) × π
    0.47088623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47933272227493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14745390} λ = -0.14745390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47933272227493))-π/2
    2×atan(4.39001534390149)-π/2
    2×1.34682825971047-π/2
    2.69365651942093-1.57079632675     		φ = 1.12286019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14745390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.448486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12286019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.335150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31230 KachelY 17338 -0.14745390 1.12286019 -8.448486 64.335150
    Oben rechts KachelX + 1 31231 KachelY 17338 -0.14735803 1.12286019 -8.442993 64.335150
    Unten links KachelX 31230 KachelY + 1 17339 -0.14745390 1.12281867 -8.448486 64.332771
    Unten rechts KachelX + 1 31231 KachelY + 1 17339 -0.14735803 1.12281867 -8.442993 64.332771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12286019-1.12281867) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dl = 264.523919999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12286019-1.12281867) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dr = 264.523919999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14745390--0.14735803) × cos(1.12286019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43310620941353 × 6371000     		do = 264.535975820837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14745390--0.14735803) × cos(1.12281867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433143632797132 × 6371000     		du = 264.558833565853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12286019)-sin(1.12281867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43310620941353-0.433143632797132)×R²
    abs(-0.14735803--0.14745390)×3.74233836022975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74233836022975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74233836022975e-05×40589641000000     		ar = 69979.1165253314m²