Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3123 / 3118
↖ ↑ ↗
← S 68.073305°
E 94.482422°		 ← 3 649.43 m → S 68.073305°
E 94.570313°		 →
↑
3 646.82 m
↓
↑
3 646.82 m
↓
S 68.106101°
E 94.482422°		 ← 3 644.24 m →
13 299 363 m²		 S 68.106101°
E 94.570313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7625732421875 y=0.7613525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7625732421875 × 212)
    floor (0.7625732421875 × 4096)
    floor (3123.5)     		tx = 3123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7613525390625 × 212)
    floor (0.7613525390625 × 4096)
    floor (3118.5)     		ty = 3118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3123 / 3118 ti = "12/3123/3118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3123/3118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3123 ÷ 212
    3123 ÷ 4096     		x = 0.762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3118 ÷ 212
    3118 ÷ 4096     		y = 0.76123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762451171875 × 2 - 1) × π
    0.52490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64902935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76123046875 × 2 - 1) × π
    -0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64902935} λ = 1.64902935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64135944299072))-π/2
    2×atan(0.193716516646689)-π/2
    2×0.19134651318608-π/2
    0.38269302637216-1.57079632675     		φ = -1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64902935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.482422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3123 KachelY 3118 1.64902935 -1.18810330 94.482422 -68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 3124 KachelY 3118 1.65056333 -1.18810330 94.570313 -68.073305
    Unten links KachelX 3123 KachelY + 1 3119 1.64902935 -1.18867571 94.482422 -68.106101
    Unten rechts KachelX + 1 3124 KachelY + 1 3119 1.65056333 -1.18867571 94.570313 -68.106101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18810330--1.18867571) × R
    0.000572409999999968 × 6371000     		dl = 3646.82410999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18810330--1.18867571) × R
    0.000572409999999968 × 6371000     		dr = 3646.82410999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64902935-1.65056333) × cos(-1.18810330) × R
    0.00153398000000005 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 3649.42904067249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64902935-1.65056333) × cos(-1.18867571) × R
    0.00153398000000005 × 0.372888975742732 × 6371000     		du = 3644.23895576377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18810330)-sin(-1.18867571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.372888975742732)×R²
    abs(1.65056333-1.64902935)×0.000531064364637179×R²
    0.00153398000000005×0.000531064364637179×6371000²
    0.00153398000000005×0.000531064364637179×40589641000000     		ar = 13299362.5130013m²