Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31229 / 38409
↖ ↑ ↗
← S 29.578235°
W  8.453980°		 ← 531.25 m → S 29.578235°
W  8.448486°		 →
↑
531.21 m
↓
↑
531.21 m
↓
S 29.583012°
W  8.453980°		 ← 531.22 m →
282 199 m²		 S 29.583012°
W  8.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476524353027344 y=0.586082458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476524353027344 × 216)
    floor (0.476524353027344 × 65536)
    floor (31229.5)     		tx = 31229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586082458496094 × 216)
    floor (0.586082458496094 × 65536)
    floor (38409.5)     		ty = 38409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31229 / 38409 ti = "16/31229/38409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31229/38409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31229 ÷ 216
    31229 ÷ 65536     		x = 0.476516723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38409 ÷ 216
    38409 ÷ 65536     		y = 0.586074829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476516723632812 × 2 - 1) × π
    -0.046966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14754978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586074829101562 × 2 - 1) × π
    -0.172149658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.540824101513473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14754978} λ = -0.14754978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540824101513473))-π/2
    2×atan(0.582268206487673)-π/2
    2×0.52727937397409-π/2
    1.05455874794818-1.57079632675     		φ = -0.51623758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14754978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.453980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51623758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.578235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31229 KachelY 38409 -0.14754978 -0.51623758 -8.453980 -29.578235
    Oben rechts KachelX + 1 31230 KachelY 38409 -0.14745390 -0.51623758 -8.448486 -29.578235
    Unten links KachelX 31229 KachelY + 1 38410 -0.14754978 -0.51632096 -8.453980 -29.583012
    Unten rechts KachelX + 1 31230 KachelY + 1 38410 -0.14745390 -0.51632096 -8.448486 -29.583012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51623758--0.51632096) × R
    8.33800000000773e-05 × 6371000     		dl = 531.213980000492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51623758--0.51632096) × R
    8.33800000000773e-05 × 6371000     		dr = 531.213980000492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14754978--0.14745390) × cos(-0.51623758) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.86968250470326 × 6371000     		do = 531.246845128053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14754978--0.14745390) × cos(-0.51632096) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.869641344350952 × 6371000     		du = 531.221702265928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51623758)-sin(-0.51632096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86968250470326-0.869641344350952)×R²
    abs(-0.14745390--0.14754978)×4.11603523079451e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.11603523079451e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.11603523079451e-05×40589641000000     		ar = 282199.07300686m²