Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31228 / 17333
↖ ↑ ↗
← N 64.347043°
W  8.459473°		 ← 264.42 m → N 64.347043°
W  8.453980°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
N 64.344665°
W  8.459473°		 ← 264.44 m →
69 932 m²		 N 64.344665°
W  8.453980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476509094238281 y=0.264488220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476509094238281 × 216)
    floor (0.476509094238281 × 65536)
    floor (31228.5)     		tx = 31228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264488220214844 × 216)
    floor (0.264488220214844 × 65536)
    floor (17333.5)     		ty = 17333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31228 / 17333 ti = "16/31228/17333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31228/17333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31228 ÷ 216
    31228 ÷ 65536     		x = 0.47650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17333 ÷ 216
    17333 ÷ 65536     		y = 0.264480590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264480590820312 × 2 - 1) × π
    0.471038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47981209127113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14764565} λ = -0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47981209127113))-π/2
    2×atan(4.39212028563179)-π/2
    2×1.34693204613016-π/2
    2.69386409226033-1.57079632675     		φ = 1.12306777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12306777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.347043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31228 KachelY 17333 -0.14764565 1.12306777 -8.459473 64.347043
    Oben rechts KachelX + 1 31229 KachelY 17333 -0.14754978 1.12306777 -8.453980 64.347043
    Unten links KachelX 31228 KachelY + 1 17334 -0.14764565 1.12302626 -8.459473 64.344665
    Unten rechts KachelX + 1 31229 KachelY + 1 17334 -0.14754978 1.12302626 -8.453980 64.344665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12306777-1.12302626) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dl = 264.460209999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12306777-1.12302626) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dr = 264.460209999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14764565--0.14754978) × cos(1.12306777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432919099325919 × 6371000     		do = 264.421691267681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14764565--0.14754978) × cos(1.12302626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43295651742755 × 6371000     		du = 264.444545786534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12306777)-sin(1.12302626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432919099325919-0.43295651742755)×R²
    abs(-0.14754978--0.14764565)×3.74181016311037e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74181016311037e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74181016311037e-05×40589641000000     		ar = 69932.0380666157m²