Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31228 / 102923
↖ ↑ ↗
← S 71.083853°
W 94.229736°		 ← 98.99 m → S 71.083853°
W 94.226990°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
S 71.084743°
W 94.229736°		 ← 98.99 m →
9 801 m²		 S 71.084743°
W 94.226990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.238254547119141 y=0.785243988037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.238254547119141 × 217)
    floor (0.238254547119141 × 131072)
    floor (31228.5)     		tx = 31228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785243988037109 × 217)
    floor (0.785243988037109 × 131072)
    floor (102923.5)     		ty = 102923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31228 / 102923 ti = "17/31228/102923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31228/102923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31228 ÷ 217
    31228 ÷ 131072     		x = 0.238250732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102923 ÷ 217
    102923 ÷ 131072     		y = 0.785240173339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.238250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.52349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.64461915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785240173339844 × 2 - 1) × π
    -0.570480346679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.79221686609504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.64461915} λ = -1.64461915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79221686609504))-π/2
    2×atan(0.166590451287169)-π/2
    2×0.165074520993869-π/2
    0.330149041987738-1.57079632675     		φ = -1.24064728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.64461915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.229736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24064728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.083853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31228 KachelY 102923 -1.64461915 -1.24064728 -94.229736 -71.083853
    Oben rechts KachelX + 1 31229 KachelY 102923 -1.64457122 -1.24064728 -94.226990 -71.083853
    Unten links KachelX 31228 KachelY + 1 102924 -1.64461915 -1.24066282 -94.229736 -71.084743
    Unten rechts KachelX + 1 31229 KachelY + 1 102924 -1.64457122 -1.24066282 -94.226990 -71.084743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24064728--1.24066282) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dl = 99.0053400009372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24064728--1.24066282) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dr = 99.0053400009372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.64461915--1.64457122) × cos(-1.24064728) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324184029374186 × 6371000     		do = 98.9934933033418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.64461915--1.64457122) × cos(-1.24066282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324169328587732 × 6371000     		du = 98.9890042413475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24064728)-sin(-1.24066282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324184029374186-0.324169328587732)×R²
    abs(-1.64457122--1.64461915)×1.47007864542137e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47007864542137e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47007864542137e-05×40589641000000     		ar = 9800.66224191646m²