Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31227 / 12809
↖ ↑ ↗
← N 73.212427°
W  8.464966°		 ← 176.41 m → N 73.212427°
W  8.459473°		 →
↑
176.48 m
↓
↑
176.48 m
↓
N 73.210840°
W  8.464966°		 ← 176.43 m →
31 134 m²		 N 73.210840°
W  8.459473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476493835449219 y=0.195457458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476493835449219 × 216)
    floor (0.476493835449219 × 65536)
    floor (31227.5)     		tx = 31227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195457458496094 × 216)
    floor (0.195457458496094 × 65536)
    floor (12809.5)     		ty = 12809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31227 / 12809 ti = "16/31227/12809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31227/12809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31227 ÷ 216
    31227 ÷ 65536     		x = 0.476486206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12809 ÷ 216
    12809 ÷ 65536     		y = 0.195449829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476486206054688 × 2 - 1) × π
    -0.047027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14774152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195449829101562 × 2 - 1) × π
    0.609100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9135451590334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14774152} λ = -0.14774152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9135451590334))-π/2
    2×atan(6.77707205940697)-π/2
    2×1.424297111838-π/2
    2.84859422367601-1.57079632675     		φ = 1.27779790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14774152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.464966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27779790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.212427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31227 KachelY 12809 -0.14774152 1.27779790 -8.464966 73.212427
    Oben rechts KachelX + 1 31228 KachelY 12809 -0.14764565 1.27779790 -8.459473 73.212427
    Unten links KachelX 31227 KachelY + 1 12810 -0.14774152 1.27777020 -8.464966 73.210840
    Unten rechts KachelX + 1 31228 KachelY + 1 12810 -0.14764565 1.27777020 -8.459473 73.210840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27779790-1.27777020) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dl = 176.47669999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27779790-1.27777020) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dr = 176.47669999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14774152--0.14764565) × cos(1.27779790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.288824159477084 × 6371000     		do = 176.410264289129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14774152--0.14764565) × cos(1.27777020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.288850678852173 × 6371000     		du = 176.426461999101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27779790)-sin(1.27777020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288824159477084-0.288850678852173)×R²
    abs(-0.14764565--0.14774152)×2.65193750894066e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65193750894066e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65193750894066e-05×40589641000000     		ar = 31133.7305492548m²