Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31226 / 19903
↖ ↑ ↗
← N 57.518773°
W  8.470459°		 ← 328.04 m → N 57.518773°
W  8.464966°		 →
↑
328.04 m
↓
↑
328.04 m
↓
N 57.515823°
W  8.470459°		 ← 328.07 m →
107 616 m²		 N 57.515823°
W  8.464966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476478576660156 y=0.303703308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476478576660156 × 216)
    floor (0.476478576660156 × 65536)
    floor (31226.5)     		tx = 31226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303703308105469 × 216)
    floor (0.303703308105469 × 65536)
    floor (19903.5)     		ty = 19903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31226 / 19903 ti = "16/31226/19903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31226/19903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31226 ÷ 216
    31226 ÷ 65536     		x = 0.476470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19903 ÷ 216
    19903 ÷ 65536     		y = 0.303695678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.04705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14783740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303695678710938 × 2 - 1) × π
    0.392608642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23341642722404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14783740} λ = -0.14783740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23341642722404))-π/2
    2×atan(3.43293790702711)-π/2
    2×1.28734414815703-π/2
    2.57468829631405-1.57079632675     		φ = 1.00389197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14783740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.470459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00389197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.518773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31226 KachelY 19903 -0.14783740 1.00389197 -8.470459 57.518773
    Oben rechts KachelX + 1 31227 KachelY 19903 -0.14774152 1.00389197 -8.464966 57.518773
    Unten links KachelX 31226 KachelY + 1 19904 -0.14783740 1.00384048 -8.470459 57.515823
    Unten rechts KachelX + 1 31227 KachelY + 1 19904 -0.14774152 1.00384048 -8.464966 57.515823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00389197-1.00384048) × R
    5.14899999999319e-05 × 6371000     		dl = 328.042789999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00389197-1.00384048) × R
    5.14899999999319e-05 × 6371000     		dr = 328.042789999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14783740--0.14774152) × cos(1.00389197) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.537023242216669 × 6371000     		do = 328.041442302521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14783740--0.14774152) × cos(1.00384048) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.537066676792603 × 6371000     		du = 328.067974377513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00389197)-sin(1.00384048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537023242216669-0.537066676792603)×R²
    abs(-0.14774152--0.14783740)×4.34345759336985e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.34345759336985e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.34345759336985e-05×40589641000000     		ar = 107615.981820019m²