Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31225 / 12810
↖ ↑ ↗
← N 73.210840°
W  8.475952°		 ← 176.43 m → N 73.210840°
W  8.470459°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
N 73.209253°
W  8.475952°		 ← 176.44 m →
31 125 m²		 N 73.209253°
W  8.470459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476463317871094 y=0.195472717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476463317871094 × 216)
    floor (0.476463317871094 × 65536)
    floor (31225.5)     		tx = 31225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195472717285156 × 216)
    floor (0.195472717285156 × 65536)
    floor (12810.5)     		ty = 12810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31225 / 12810 ti = "16/31225/12810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31225/12810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31225 ÷ 216
    31225 ÷ 65536     		x = 0.476455688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12810 ÷ 216
    12810 ÷ 65536     		y = 0.195465087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476455688476562 × 2 - 1) × π
    -0.047088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14793327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195465087890625 × 2 - 1) × π
    0.60906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91344928523416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14793327} λ = -0.14793327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91344928523416))-π/2
    2×atan(6.77642234690661)-π/2
    2×1.42428326586768-π/2
    2.84856653173537-1.57079632675     		φ = 1.27777020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14793327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.475952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27777020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.210840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31225 KachelY 12810 -0.14793327 1.27777020 -8.475952 73.210840
    Oben rechts KachelX + 1 31226 KachelY 12810 -0.14783740 1.27777020 -8.470459 73.210840
    Unten links KachelX 31225 KachelY + 1 12811 -0.14793327 1.27774251 -8.475952 73.209253
    Unten rechts KachelX + 1 31226 KachelY + 1 12811 -0.14783740 1.27774251 -8.470459 73.209253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27777020-1.27774251) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27777020-1.27774251) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14793327--0.14783740) × cos(1.27777020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.288850678852173 × 6371000     		do = 176.426461999101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14793327--0.14783740) × cos(1.27774251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.288877188431969 × 6371000     		du = 176.442653726228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27777020)-sin(1.27774251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288850678852173-0.288877188431969)×R²
    abs(-0.14783740--0.14793327)×2.65095797956083e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65095797956083e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65095797956083e-05×40589641000000     		ar = 31125.3478937805m²