Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31221 / 12692
↖ ↑ ↗
← N 73.397061°
W  8.497925°		 ← 174.54 m → N 73.397061°
W  8.492431°		 →
↑
174.57 m
↓
↑
174.57 m
↓
N 73.395491°
W  8.497925°		 ← 174.56 m →
30 471 m²		 N 73.395491°
W  8.492431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476402282714844 y=0.193672180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476402282714844 × 216)
    floor (0.476402282714844 × 65536)
    floor (31221.5)     		tx = 31221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193672180175781 × 216)
    floor (0.193672180175781 × 65536)
    floor (12692.5)     		ty = 12692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31221 / 12692 ti = "16/31221/12692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31221/12692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31221 ÷ 216
    31221 ÷ 65536     		x = 0.476394653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12692 ÷ 216
    12692 ÷ 65536     		y = 0.19366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476394653320312 × 2 - 1) × π
    -0.047210693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14831677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19366455078125 × 2 - 1) × π
    0.6126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92476239354449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14831677} λ = -0.14831677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92476239354449))-π/2
    2×atan(6.85352003181736)-π/2
    2×1.42590834605568-π/2
    2.85181669211137-1.57079632675     		φ = 1.28102037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14831677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.497925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28102037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.397061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31221 KachelY 12692 -0.14831677 1.28102037 -8.497925 73.397061
    Oben rechts KachelX + 1 31222 KachelY 12692 -0.14822089 1.28102037 -8.492431 73.397061
    Unten links KachelX 31221 KachelY + 1 12693 -0.14831677 1.28099297 -8.497925 73.395491
    Unten rechts KachelX + 1 31222 KachelY + 1 12693 -0.14822089 1.28099297 -8.492431 73.395491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28102037-1.28099297) × R
    2.74000000000107e-05 × 6371000     		dl = 174.565400000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28102037-1.28099297) × R
    2.74000000000107e-05 × 6371000     		dr = 174.565400000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14831677--0.14822089) × cos(1.28102037) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.285737529900754 × 6371000     		do = 174.543193031406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14831677--0.14822089) × cos(1.28099297) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.285763787430419 × 6371000     		du = 174.559232482264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28102037)-sin(1.28099297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285737529900754-0.285763787430419)×R²
    abs(-0.14822089--0.14831677)×2.62575296655632e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.62575296655632e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.62575296655632e-05×40589641000000     		ar = 30470.6022771884m²