Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31219 / 20083
↖ ↑ ↗
← N 56.983905°
W  8.508911°		 ← 332.84 m → N 56.983905°
W  8.503418°		 →
↑
332.82 m
↓
↑
332.82 m
↓
N 56.980912°
W  8.508911°		 ← 332.86 m →
110 780 m²		 N 56.980912°
W  8.503418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476371765136719 y=0.306449890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476371765136719 × 216)
    floor (0.476371765136719 × 65536)
    floor (31219.5)     		tx = 31219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306449890136719 × 216)
    floor (0.306449890136719 × 65536)
    floor (20083.5)     		ty = 20083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31219 / 20083 ti = "16/31219/20083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31219/20083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31219 ÷ 216
    31219 ÷ 65536     		x = 0.476364135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20083 ÷ 216
    20083 ÷ 65536     		y = 0.306442260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476364135742188 × 2 - 1) × π
    -0.047271728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14850852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306442260742188 × 2 - 1) × π
    0.387115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21615914336082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14850852} λ = -0.14850852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21615914336082))-π/2
    2×atan(3.3742029833714)-π/2
    2×1.28267654161019-π/2
    2.56535308322037-1.57079632675     		φ = 0.99455676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14850852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.508911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99455676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.983905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31219 KachelY 20083 -0.14850852 0.99455676 -8.508911 56.983905
    Oben rechts KachelX + 1 31220 KachelY 20083 -0.14841264 0.99455676 -8.503418 56.983905
    Unten links KachelX 31219 KachelY + 1 20084 -0.14850852 0.99450452 -8.508911 56.980912
    Unten rechts KachelX + 1 31220 KachelY + 1 20084 -0.14841264 0.99450452 -8.503418 56.980912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99455676-0.99450452) × R
    5.22400000000367e-05 × 6371000     		dl = 332.821040000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99455676-0.99450452) × R
    5.22400000000367e-05 × 6371000     		dr = 332.821040000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14850852--0.14841264) × cos(0.99455676) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.544874607521814 × 6371000     		do = 332.837460419094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14850852--0.14841264) × cos(0.99450452) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.54491841093451 × 6371000     		du = 332.864217798568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99455676)-sin(0.99450452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544874607521814-0.54491841093451)×R²
    abs(-0.14841264--0.14850852)×4.38034126959419e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38034126959419e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38034126959419e-05×40589641000000     		ar = 110779.762462201m²