Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31217 / 12915
↖ ↑ ↗
← N 73.043431°
W  8.519897°		 ← 178.13 m → N 73.043431°
W  8.514404°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
N 73.041829°
W  8.519897°		 ← 178.15 m →
31 733 m²		 N 73.041829°
W  8.514404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476341247558594 y=0.197074890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476341247558594 × 216)
    floor (0.476341247558594 × 65536)
    floor (31217.5)     		tx = 31217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197074890136719 × 216)
    floor (0.197074890136719 × 65536)
    floor (12915.5)     		ty = 12915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31217 / 12915 ti = "16/31217/12915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31217/12915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31217 ÷ 216
    31217 ÷ 65536     		x = 0.476333618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12915 ÷ 216
    12915 ÷ 65536     		y = 0.197067260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476333618164062 × 2 - 1) × π
    -0.047332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14870026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197067260742188 × 2 - 1) × π
    0.605865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90338253631395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14870026} λ = -0.14870026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90338253631395))-π/2
    2×atan(6.70854801468784)-π/2
    2×1.42282234571838-π/2
    2.84564469143675-1.57079632675     		φ = 1.27484836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14870026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.519897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27484836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.043431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31217 KachelY 12915 -0.14870026 1.27484836 -8.519897 73.043431
    Oben rechts KachelX + 1 31218 KachelY 12915 -0.14860439 1.27484836 -8.514404 73.043431
    Unten links KachelX 31217 KachelY + 1 12916 -0.14870026 1.27482040 -8.519897 73.041829
    Unten rechts KachelX + 1 31218 KachelY + 1 12916 -0.14860439 1.27482040 -8.514404 73.041829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27484836-1.27482040) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dl = 178.133159999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27484836-1.27482040) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dr = 178.133159999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14870026--0.14860439) × cos(1.27484836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29164673601263 × 6371000     		do = 178.134259516929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14870026--0.14860439) × cos(1.27482040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291673480368404 × 6371000     		du = 178.150594642352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27484836)-sin(1.27482040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29164673601263-0.291673480368404)×R²
    abs(-0.14860439--0.14870026)×2.67443557737113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67443557737113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67443557737113e-05×40589641000000     		ar = 31733.0734677916m²