Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31214 / 19806
↖ ↑ ↗
← N 57.803798°
W  8.536377°		 ← 325.44 m → N 57.803798°
W  8.530884°		 →
↑
325.49 m
↓
↑
325.49 m
↓
N 57.800871°
W  8.536377°		 ← 325.47 m →
105 933 m²		 N 57.800871°
W  8.530884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476295471191406 y=0.302223205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476295471191406 × 216)
    floor (0.476295471191406 × 65536)
    floor (31214.5)     		tx = 31214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302223205566406 × 216)
    floor (0.302223205566406 × 65536)
    floor (19806.5)     		ty = 19806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31214 / 19806 ti = "16/31214/19806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31214/19806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31214 ÷ 216
    31214 ÷ 65536     		x = 0.476287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19806 ÷ 216
    19806 ÷ 65536     		y = 0.302215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302215576171875 × 2 - 1) × π
    0.39556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24271618575034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14898788} λ = -0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24271618575034))-π/2
    2×atan(3.46501231154272)-π/2
    2×1.28983146186562-π/2
    2.57966292373124-1.57079632675     		φ = 1.00886660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00886660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.803798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31214 KachelY 19806 -0.14898788 1.00886660 -8.536377 57.803798
    Oben rechts KachelX + 1 31215 KachelY 19806 -0.14889201 1.00886660 -8.530884 57.803798
    Unten links KachelX 31214 KachelY + 1 19807 -0.14898788 1.00881551 -8.536377 57.800871
    Unten rechts KachelX + 1 31215 KachelY + 1 19807 -0.14889201 1.00881551 -8.530884 57.800871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00886660-1.00881551) × R
    5.10899999999204e-05 × 6371000     		dl = 325.494389999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00886660-1.00881551) × R
    5.10899999999204e-05 × 6371000     		dr = 325.494389999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14898788--0.14889201) × cos(1.00886660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.532820178768629 × 6371000     		do = 325.440048801085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14898788--0.14889201) × cos(1.00881551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.532863411886778 × 6371000     		du = 325.46645506091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00886660)-sin(1.00881551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532820178768629-0.532863411886778)×R²
    abs(-0.14889201--0.14898788)×4.3233118149022e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3233118149022e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3233118149022e-05×40589641000000     		ar = 105933.207733583m²