Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31214 / 12974
↖ ↑ ↗
← N 72.948653°
W  8.536377°		 ← 179.10 m → N 72.948653°
W  8.530884°		 →
↑
179.15 m
↓
↑
179.15 m
↓
N 72.947042°
W  8.536377°		 ← 179.12 m →
32 088 m²		 N 72.947042°
W  8.530884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476295471191406 y=0.197975158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476295471191406 × 216)
    floor (0.476295471191406 × 65536)
    floor (31214.5)     		tx = 31214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197975158691406 × 216)
    floor (0.197975158691406 × 65536)
    floor (12974.5)     		ty = 12974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31214 / 12974 ti = "16/31214/12974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31214/12974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31214 ÷ 216
    31214 ÷ 65536     		x = 0.476287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12974 ÷ 216
    12974 ÷ 65536     		y = 0.197967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197967529296875 × 2 - 1) × π
    0.60406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89772598215878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14898788} λ = -0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89772598215878))-π/2
    2×atan(6.6707078728423)-π/2
    2×1.42199525279442-π/2
    2.84399050558884-1.57079632675     		φ = 1.27319418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27319418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.948653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31214 KachelY 12974 -0.14898788 1.27319418 -8.536377 72.948653
    Oben rechts KachelX + 1 31215 KachelY 12974 -0.14889201 1.27319418 -8.530884 72.948653
    Unten links KachelX 31214 KachelY + 1 12975 -0.14898788 1.27316606 -8.536377 72.947042
    Unten rechts KachelX + 1 31215 KachelY + 1 12975 -0.14889201 1.27316606 -8.530884 72.947042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27319418-1.27316606) × R
    2.81199999998538e-05 × 6371000     		dl = 179.152519999069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27319418-1.27316606) × R
    2.81199999998538e-05 × 6371000     		dr = 179.152519999069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14898788--0.14889201) × cos(1.27319418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293228602618273 × 6371000     		do = 179.100444293427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14898788--0.14889201) × cos(1.27316606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293255486413389 × 6371000     		du = 179.116864586695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27319418)-sin(1.27316606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293228602618273-0.293255486413389)×R²
    abs(-0.14889201--0.14898788)×2.68837951161172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68837951161172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68837951161172e-05×40589641000000     		ar = 32087.766798912m²