Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31213 / 19827
↖ ↑ ↗
← N 57.742282°
W  8.541870°		 ← 326.03 m → N 57.742282°
W  8.536377°		 →
↑
326 m
↓
↑
326 m
↓
N 57.739350°
W  8.541870°		 ← 326.06 m →
106 291 m²		 N 57.739350°
W  8.536377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476280212402344 y=0.302543640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476280212402344 × 216)
    floor (0.476280212402344 × 65536)
    floor (31213.5)     		tx = 31213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302543640136719 × 216)
    floor (0.302543640136719 × 65536)
    floor (19827.5)     		ty = 19827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31213 / 19827 ti = "16/31213/19827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31213/19827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31213 ÷ 216
    31213 ÷ 65536     		x = 0.476272583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19827 ÷ 216
    19827 ÷ 65536     		y = 0.302536010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476272583007812 × 2 - 1) × π
    -0.047454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14908376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302536010742188 × 2 - 1) × π
    0.394927978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24070283596629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14908376} λ = -0.14908376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24070283596629))-π/2
    2×atan(3.45804304789051)-π/2
    2×1.28929462808361-π/2
    2.57858925616722-1.57079632675     		φ = 1.00779293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14908376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.541870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00779293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.742282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31213 KachelY 19827 -0.14908376 1.00779293 -8.541870 57.742282
    Oben rechts KachelX + 1 31214 KachelY 19827 -0.14898788 1.00779293 -8.536377 57.742282
    Unten links KachelX 31213 KachelY + 1 19828 -0.14908376 1.00774176 -8.541870 57.739350
    Unten rechts KachelX + 1 31214 KachelY + 1 19828 -0.14898788 1.00774176 -8.536377 57.739350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00779293-1.00774176) × R
    5.11699999998783e-05 × 6371000     		dl = 326.004069999224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00779293-1.00774176) × R
    5.11699999998783e-05 × 6371000     		dr = 326.004069999224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14908376--0.14898788) × cos(1.00779293) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.533728441628003 × 6371000     		do = 326.028808486629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14908376--0.14898788) × cos(1.00774176) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.533771713143133 × 6371000     		du = 326.055240955687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00779293)-sin(1.00774176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533728441628003-0.533771713143133)×R²
    abs(-0.14898788--0.14908376)×4.3271515129395e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.3271515129395e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.3271515129395e-05×40589641000000     		ar = 106291.027072874m²