Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31212 / 12970
↖ ↑ ↗
← N 72.955095°
W  8.547363°		 ← 179.03 m → N 72.955095°
W  8.541870°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
N 72.953485°
W  8.547363°		 ← 179.05 m →
32 053 m²		 N 72.953485°
W  8.541870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476264953613281 y=0.197914123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476264953613281 × 216)
    floor (0.476264953613281 × 65536)
    floor (31212.5)     		tx = 31212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197914123535156 × 216)
    floor (0.197914123535156 × 65536)
    floor (12970.5)     		ty = 12970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31212 / 12970 ti = "16/31212/12970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31212/12970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31212 ÷ 216
    31212 ÷ 65536     		x = 0.47625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12970 ÷ 216
    12970 ÷ 65536     		y = 0.197906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.0474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14917963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197906494140625 × 2 - 1) × π
    0.60418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89810947735574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14917963} λ = -0.14917963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89810947735574))-π/2
    2×atan(6.67326654786029)-π/2
    2×1.42205146836888-π/2
    2.84410293673776-1.57079632675     		φ = 1.27330661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14917963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27330661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.955095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31212 KachelY 12970 -0.14917963 1.27330661 -8.547363 72.955095
    Oben rechts KachelX + 1 31213 KachelY 12970 -0.14908376 1.27330661 -8.541870 72.955095
    Unten links KachelX 31212 KachelY + 1 12971 -0.14917963 1.27327851 -8.547363 72.953485
    Unten rechts KachelX + 1 31213 KachelY + 1 12971 -0.14908376 1.27327851 -8.541870 72.953485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27330661-1.27327851) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27330661-1.27327851) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14917963--0.14908376) × cos(1.27330661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293121112923127 × 6371000     		do = 179.034790902231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14917963--0.14908376) × cos(1.27327851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293147978523826 × 6371000     		du = 179.051200082572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27330661)-sin(1.27327851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293121112923127-0.293147978523826)×R²
    abs(-0.14908376--0.14917963)×2.68656006987555e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68656006987555e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68656006987555e-05×40589641000000     		ar = 32053.1901744871m²