Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31211 / 20059
↖ ↑ ↗
← N 57.055670°
W  8.552857°		 ← 332.20 m → N 57.055670°
W  8.547363°		 →
↑
332.18 m
↓
↑
332.18 m
↓
N 57.052682°
W  8.552857°		 ← 332.22 m →
110 354 m²		 N 57.052682°
W  8.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476249694824219 y=0.306083679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476249694824219 × 216)
    floor (0.476249694824219 × 65536)
    floor (31211.5)     		tx = 31211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306083679199219 × 216)
    floor (0.306083679199219 × 65536)
    floor (20059.5)     		ty = 20059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31211 / 20059 ti = "16/31211/20059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31211/20059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31211 ÷ 216
    31211 ÷ 65536     		x = 0.476242065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20059 ÷ 216
    20059 ÷ 65536     		y = 0.306076049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476242065429688 × 2 - 1) × π
    -0.047515869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14927551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306076049804688 × 2 - 1) × π
    0.387847900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21846011454259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14927551} λ = -0.14927551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21846011454259))-π/2
    2×atan(3.38197586635799)-π/2
    2×1.28330280748001-π/2
    2.56660561496001-1.57079632675     		φ = 0.99580929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14927551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.552857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99580929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.055670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31211 KachelY 20059 -0.14927551 0.99580929 -8.552857 57.055670
    Oben rechts KachelX + 1 31212 KachelY 20059 -0.14917963 0.99580929 -8.547363 57.055670
    Unten links KachelX 31211 KachelY + 1 20060 -0.14927551 0.99575715 -8.552857 57.052682
    Unten rechts KachelX + 1 31212 KachelY + 1 20060 -0.14917963 0.99575715 -8.547363 57.052682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99580929-0.99575715) × R
    5.21399999999783e-05 × 6371000     		dl = 332.183939999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99580929-0.99575715) × R
    5.21399999999783e-05 × 6371000     		dr = 332.183939999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14927551--0.14917963) × cos(0.99580929) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.543823912016011 × 6371000     		do = 332.195641514345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14927551--0.14917963) × cos(0.99575715) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.543867667131 × 6371000     		du = 332.222369391093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99580929)-sin(0.99575715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543823912016011-0.543867667131)×R²
    abs(-0.14917963--0.14927551)×4.3755114989108e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3755114989108e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3755114989108e-05×40589641000000     		ar = 110354.496359488m²