Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31207 / 16938
↖ ↑ ↗
← N 65.270498°
W  8.574829°		 ← 255.51 m → N 65.270498°
W  8.569336°		 →
↑
255.48 m
↓
↑
255.48 m
↓
N 65.268200°
W  8.574829°		 ← 255.54 m →
65 281 m²		 N 65.268200°
W  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476188659667969 y=0.258460998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476188659667969 × 216)
    floor (0.476188659667969 × 65536)
    floor (31207.5)     		tx = 31207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258460998535156 × 216)
    floor (0.258460998535156 × 65536)
    floor (16938.5)     		ty = 16938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31207 / 16938 ti = "16/31207/16938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31207/16938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31207 ÷ 216
    31207 ÷ 65536     		x = 0.476181030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16938 ÷ 216
    16938 ÷ 65536     		y = 0.258453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476181030273438 × 2 - 1) × π
    -0.047637939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14965900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258453369140625 × 2 - 1) × π
    0.48309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51768224197098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14965900} λ = -0.14965900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51768224197098))-π/2
    2×atan(4.56164015500508)-π/2
    2×1.35499071052968-π/2
    2.70998142105936-1.57079632675     		φ = 1.13918509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14965900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.574829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13918509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.270498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31207 KachelY 16938 -0.14965900 1.13918509 -8.574829 65.270498
    Oben rechts KachelX + 1 31208 KachelY 16938 -0.14956313 1.13918509 -8.569336 65.270498
    Unten links KachelX 31207 KachelY + 1 16939 -0.14965900 1.13914499 -8.574829 65.268200
    Unten rechts KachelX + 1 31208 KachelY + 1 16939 -0.14956313 1.13914499 -8.569336 65.268200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13918509-1.13914499) × R
    4.01000000000984e-05 × 6371000     		dl = 255.477100000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13918509-1.13914499) × R
    4.01000000000984e-05 × 6371000     		dr = 255.477100000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14965900--0.14956313) × cos(1.13918509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418334819741006 × 6371000     		do = 255.513791662956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14965900--0.14956313) × cos(1.13914499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418371241949643 × 6371000     		du = 255.536037902547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13918509)-sin(1.13914499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418334819741006-0.418371241949643)×R²
    abs(-0.14956313--0.14965900)×3.6422208636866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6422208636866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6422208636866e-05×40589641000000     		ar = 65280.76421521m²