Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31207 / 12683
↖ ↑ ↗
← N 73.411181°
W  8.574829°		 ← 174.38 m → N 73.411181°
W  8.569336°		 →
↑
174.44 m
↓
↑
174.44 m
↓
N 73.409612°
W  8.574829°		 ← 174.40 m →
30 420 m²		 N 73.409612°
W  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476188659667969 y=0.193534851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476188659667969 × 216)
    floor (0.476188659667969 × 65536)
    floor (31207.5)     		tx = 31207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193534851074219 × 216)
    floor (0.193534851074219 × 65536)
    floor (12683.5)     		ty = 12683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31207 / 12683 ti = "16/31207/12683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31207/12683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31207 ÷ 216
    31207 ÷ 65536     		x = 0.476181030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12683 ÷ 216
    12683 ÷ 65536     		y = 0.193527221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476181030273438 × 2 - 1) × π
    -0.047637939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14965900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193527221679688 × 2 - 1) × π
    0.612945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92562525773766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14965900} λ = -0.14965900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92562525773766))-π/2
    2×atan(6.85943624092536)-π/2
    2×1.42603157144405-π/2
    2.85206314288811-1.57079632675     		φ = 1.28126682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14965900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.574829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28126682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.411181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31207 KachelY 12683 -0.14965900 1.28126682 -8.574829 73.411181
    Oben rechts KachelX + 1 31208 KachelY 12683 -0.14956313 1.28126682 -8.569336 73.411181
    Unten links KachelX 31207 KachelY + 1 12684 -0.14965900 1.28123944 -8.574829 73.409612
    Unten rechts KachelX + 1 31208 KachelY + 1 12684 -0.14956313 1.28123944 -8.569336 73.409612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28126682-1.28123944) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dl = 174.437979999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28126682-1.28123944) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dr = 174.437979999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14965900--0.14956313) × cos(1.28126682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285501346239465 × 6371000     		do = 174.380730601597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14965900--0.14956313) × cos(1.28123944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285527586530521 × 6371000     		du = 174.396757850455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28126682)-sin(1.28123944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285501346239465-0.285527586530521)×R²
    abs(-0.14956313--0.14965900)×2.62402910553017e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.62402910553017e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.62402910553017e-05×40589641000000     		ar = 30420.020279487m²