Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31205 / 19814
↖ ↑ ↗
← N 57.780376°
W  8.585816°		 ← 325.69 m → N 57.780376°
W  8.580322°		 →
↑
325.69 m
↓
↑
325.69 m
↓
N 57.777447°
W  8.585816°		 ← 325.71 m →
106 075 m²		 N 57.777447°
W  8.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476158142089844 y=0.302345275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476158142089844 × 216)
    floor (0.476158142089844 × 65536)
    floor (31205.5)     		tx = 31205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302345275878906 × 216)
    floor (0.302345275878906 × 65536)
    floor (19814.5)     		ty = 19814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31205 / 19814 ti = "16/31205/19814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31205/19814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31205 ÷ 216
    31205 ÷ 65536     		x = 0.476150512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19814 ÷ 216
    19814 ÷ 65536     		y = 0.302337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476150512695312 × 2 - 1) × π
    -0.047698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14985075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302337646484375 × 2 - 1) × π
    0.39532470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24194919535641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14985075} λ = -0.14985075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24194919535641))-π/2
    2×atan(3.46235569931321)-π/2
    2×1.28962706156517-π/2
    2.57925412313034-1.57079632675     		φ = 1.00845780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14985075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.585816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00845780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.780376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31205 KachelY 19814 -0.14985075 1.00845780 -8.585816 57.780376
    Oben rechts KachelX + 1 31206 KachelY 19814 -0.14975487 1.00845780 -8.580322 57.780376
    Unten links KachelX 31205 KachelY + 1 19815 -0.14985075 1.00840668 -8.585816 57.777447
    Unten rechts KachelX + 1 31206 KachelY + 1 19815 -0.14975487 1.00840668 -8.580322 57.777447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00845780-1.00840668) × R
    5.11199999999601e-05 × 6371000     		dl = 325.685519999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00845780-1.00840668) × R
    5.11199999999601e-05 × 6371000     		dr = 325.685519999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14985075--0.14975487) × cos(1.00845780) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.533166072443888 × 6371000     		do = 325.685284438111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14985075--0.14975487) × cos(1.00840668) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.533209319809209 × 6371000     		du = 325.711702155224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00845780)-sin(1.00840668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533166072443888-0.533209319809209)×R²
    abs(-0.14975487--0.14985075)×4.32473653211307e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.32473653211307e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.32473653211307e-05×40589641000000     		ar = 106075.283175486m²