Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31203 / 19808
↖ ↑ ↗
← N 57.797944°
W  8.596802°		 ← 325.53 m → N 57.797944°
W  8.591308°		 →
↑
325.49 m
↓
↑
325.49 m
↓
N 57.795017°
W  8.596802°		 ← 325.55 m →
105 961 m²		 N 57.795017°
W  8.591308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476127624511719 y=0.302253723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476127624511719 × 216)
    floor (0.476127624511719 × 65536)
    floor (31203.5)     		tx = 31203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302253723144531 × 216)
    floor (0.302253723144531 × 65536)
    floor (19808.5)     		ty = 19808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31203 / 19808 ti = "16/31203/19808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31203/19808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31203 ÷ 216
    31203 ÷ 65536     		x = 0.476119995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19808 ÷ 216
    19808 ÷ 65536     		y = 0.30224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476119995117188 × 2 - 1) × π
    -0.047760009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15004250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30224609375 × 2 - 1) × π
    0.3955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15004250} λ = -0.15004250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24252443815186))-π/2
    2×atan(3.4643479674485)-π/2
    2×1.28978037422592-π/2
    2.57956074845184-1.57079632675     		φ = 1.00876442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15004250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.596802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00876442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.797944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31203 KachelY 19808 -0.15004250 1.00876442 -8.596802 57.797944
    Oben rechts KachelX + 1 31204 KachelY 19808 -0.14994662 1.00876442 -8.591308 57.797944
    Unten links KachelX 31203 KachelY + 1 19809 -0.15004250 1.00871333 -8.596802 57.795017
    Unten rechts KachelX + 1 31204 KachelY + 1 19809 -0.14994662 1.00871333 -8.591308 57.795017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00876442-1.00871333) × R
    5.10900000001424e-05 × 6371000     		dl = 325.494390000907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00876442-1.00871333) × R
    5.10900000001424e-05 × 6371000     		dr = 325.494390000907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15004250--0.14994662) × cos(1.00876442) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.532906643614054 × 6371000     		do = 325.526811953452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15004250--0.14994662) × cos(1.00871333) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.532949873950342 × 6371000     		du = 325.553219268355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00876442)-sin(1.00871333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532906643614054-0.532949873950342)×R²
    abs(-0.14994662--0.15004250)×4.32303362888353e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.32303362888353e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.32303362888353e-05×40589641000000     		ar = 105961.448825459m²