Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31202 / 38062
↖ ↑ ↗
← S 27.907058°
W  8.602295°		 ← 539.76 m → S 27.907058°
W  8.596802°		 →
↑
539.81 m
↓
↑
539.81 m
↓
S 27.911913°
W  8.602295°		 ← 539.73 m →
291 363 m²		 S 27.911913°
W  8.596802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476112365722656 y=0.580787658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476112365722656 × 216)
    floor (0.476112365722656 × 65536)
    floor (31202.5)     		tx = 31202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580787658691406 × 216)
    floor (0.580787658691406 × 65536)
    floor (38062.5)     		ty = 38062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31202 / 38062 ti = "16/31202/38062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31202/38062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31202 ÷ 216
    31202 ÷ 65536     		x = 0.476104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38062 ÷ 216
    38062 ÷ 65536     		y = 0.580780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476104736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04779052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15013837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580780029296875 × 2 - 1) × π
    -0.16156005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.507555893177155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15013837} λ = -0.15013837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507555893177155))-π/2
    2×atan(0.601965049193312)-π/2
    2×0.541863136842696-π/2
    1.08372627368539-1.57079632675     		φ = -0.48707005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15013837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.602295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48707005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.907058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31202 KachelY 38062 -0.15013837 -0.48707005 -8.602295 -27.907058
    Oben rechts KachelX + 1 31203 KachelY 38062 -0.15004250 -0.48707005 -8.596802 -27.907058
    Unten links KachelX 31202 KachelY + 1 38063 -0.15013837 -0.48715478 -8.602295 -27.911913
    Unten rechts KachelX + 1 31203 KachelY + 1 38063 -0.15004250 -0.48715478 -8.596802 -27.911913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48707005--0.48715478) × R
    8.47300000000328e-05 × 6371000     		dl = 539.814830000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48707005--0.48715478) × R
    8.47300000000328e-05 × 6371000     		dr = 539.814830000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15013837--0.15004250) × cos(-0.48707005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88370797972056 × 6371000     		do = 539.758026264714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15013837--0.15004250) × cos(-0.48715478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88366831963105 × 6371000     		du = 539.733802367085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48707005)-sin(-0.48715478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88370797972056-0.88366831963105)×R²
    abs(-0.15004250--0.15013837)×3.96600895096189e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96600895096189e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96600895096189e-05×40589641000000     		ar = 291362.849153986m²