Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31202 / 20064
↖ ↑ ↗
← N 57.040730°
W  8.602295°		 ← 332.29 m → N 57.040730°
W  8.596802°		 →
↑
332.31 m
↓
↑
332.31 m
↓
N 57.037741°
W  8.602295°		 ← 332.32 m →
110 430 m²		 N 57.037741°
W  8.596802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476112365722656 y=0.306159973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476112365722656 × 216)
    floor (0.476112365722656 × 65536)
    floor (31202.5)     		tx = 31202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306159973144531 × 216)
    floor (0.306159973144531 × 65536)
    floor (20064.5)     		ty = 20064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31202 / 20064 ti = "16/31202/20064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31202/20064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31202 ÷ 216
    31202 ÷ 65536     		x = 0.476104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20064 ÷ 216
    20064 ÷ 65536     		y = 0.30615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476104736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04779052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15013837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30615234375 × 2 - 1) × π
    0.3876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21798074554639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15013837} λ = -0.15013837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21798074554639))-π/2
    2×atan(3.38035504049963)-π/2
    2×1.28317243509796-π/2
    2.56634487019593-1.57079632675     		φ = 0.99554854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15013837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.602295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99554854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.040730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31202 KachelY 20064 -0.15013837 0.99554854 -8.602295 57.040730
    Oben rechts KachelX + 1 31203 KachelY 20064 -0.15004250 0.99554854 -8.596802 57.040730
    Unten links KachelX 31202 KachelY + 1 20065 -0.15013837 0.99549638 -8.602295 57.037741
    Unten rechts KachelX + 1 31203 KachelY + 1 20065 -0.15004250 0.99549638 -8.596802 57.037741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99554854-0.99549638) × R
    5.21600000000788e-05 × 6371000     		dl = 332.311360000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99554854-0.99549638) × R
    5.21600000000788e-05 × 6371000     		dr = 332.311360000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15013837--0.15004250) × cos(0.99554854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544042714757169 × 6371000     		do = 332.29463653127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15013837--0.15004250) × cos(0.99549638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544086479257396 × 6371000     		du = 332.321367352769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99554854)-sin(0.99549638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544042714757169-0.544086479257396)×R²
    abs(-0.15004250--0.15013837)×4.37645002266951e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37645002266951e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37645002266951e-05×40589641000000     		ar = 110429.724089565m²