Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31201 / 12686
↖ ↑ ↗
← N 73.406476°
W  8.607788°		 ← 174.43 m → N 73.406476°
W  8.602295°		 →
↑
174.44 m
↓
↑
174.44 m
↓
N 73.404907°
W  8.607788°		 ← 174.44 m →
30 428 m²		 N 73.404907°
W  8.602295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476097106933594 y=0.193580627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476097106933594 × 216)
    floor (0.476097106933594 × 65536)
    floor (31201.5)     		tx = 31201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193580627441406 × 216)
    floor (0.193580627441406 × 65536)
    floor (12686.5)     		ty = 12686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31201 / 12686 ti = "16/31201/12686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31201/12686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31201 ÷ 216
    31201 ÷ 65536     		x = 0.476089477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12686 ÷ 216
    12686 ÷ 65536     		y = 0.193572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476089477539062 × 2 - 1) × π
    -0.047821044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15023424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193572998046875 × 2 - 1) × π
    0.61285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92533763633994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15023424} λ = -0.15023424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92533763633994))-π/2
    2×atan(6.85746360398606)-π/2
    2×1.42599050763607-π/2
    2.85198101527214-1.57079632675     		φ = 1.28118469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15023424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.607788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28118469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.406476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31201 KachelY 12686 -0.15023424 1.28118469 -8.607788 73.406476
    Oben rechts KachelX + 1 31202 KachelY 12686 -0.15013837 1.28118469 -8.602295 73.406476
    Unten links KachelX 31201 KachelY + 1 12687 -0.15023424 1.28115731 -8.607788 73.404907
    Unten rechts KachelX + 1 31202 KachelY + 1 12687 -0.15013837 1.28115731 -8.602295 73.404907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28118469-1.28115731) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dl = 174.437979999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28118469-1.28115731) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dr = 174.437979999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15023424--0.15013837) × cos(1.28118469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285580056886914 × 6371000     		do = 174.428806102427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15023424--0.15013837) × cos(1.28115731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285606296535839 × 6371000     		du = 174.44483295908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28118469)-sin(1.28115731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285580056886914-0.285606296535839)×R²
    abs(-0.15013837--0.15023424)×2.62396489248973e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.62396489248973e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.62396489248973e-05×40589641000000     		ar = 30428.4064386783m²