Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31199 / 20073
↖ ↑ ↗
← N 57.013824°
W  8.618774°		 ← 332.54 m → N 57.013824°
W  8.613281°		 →
↑
332.57 m
↓
↑
332.57 m
↓
N 57.010833°
W  8.618774°		 ← 332.56 m →
110 594 m²		 N 57.010833°
W  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476066589355469 y=0.306297302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476066589355469 × 216)
    floor (0.476066589355469 × 65536)
    floor (31199.5)     		tx = 31199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306297302246094 × 216)
    floor (0.306297302246094 × 65536)
    floor (20073.5)     		ty = 20073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31199 / 20073 ti = "16/31199/20073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31199/20073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31199 ÷ 216
    31199 ÷ 65536     		x = 0.476058959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20073 ÷ 216
    20073 ÷ 65536     		y = 0.306289672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476058959960938 × 2 - 1) × π
    -0.047882080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15042599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306289672851562 × 2 - 1) × π
    0.387420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21711788135323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15042599} λ = -0.15042599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21711788135323))-π/2
    2×atan(3.37743951120882)-π/2
    2×1.28293763263138-π/2
    2.56587526526277-1.57079632675     		φ = 0.99507894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15042599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.618774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99507894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.013824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31199 KachelY 20073 -0.15042599 0.99507894 -8.618774 57.013824
    Oben rechts KachelX + 1 31200 KachelY 20073 -0.15033012 0.99507894 -8.613281 57.013824
    Unten links KachelX 31199 KachelY + 1 20074 -0.15042599 0.99502674 -8.618774 57.010833
    Unten rechts KachelX + 1 31200 KachelY + 1 20074 -0.15033012 0.99502674 -8.613281 57.010833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99507894-0.99502674) × R
    5.21999999999467e-05 × 6371000     		dl = 332.566199999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99507894-0.99502674) × R
    5.21999999999467e-05 × 6371000     		dr = 332.566199999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15042599--0.15033012) × cos(0.99507894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544436676167541 × 6371000     		do = 332.535263342577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15042599--0.15033012) × cos(0.99502674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544480460887383 × 6371000     		du = 332.562006513969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99507894)-sin(0.99502674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544436676167541-0.544480460887383)×R²
    abs(-0.15033012--0.15042599)×4.37847198418995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37847198418995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37847198418995e-05×40589641000000     		ar = 110594.435858001m²