Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31197 / 12687
↖ ↑ ↗
← N 73.404907°
W  8.629761°		 ← 174.46 m → N 73.404907°
W  8.624267°		 →
↑
174.50 m
↓
↑
174.50 m
↓
N 73.403337°
W  8.629761°		 ← 174.48 m →
30 445 m²		 N 73.403337°
W  8.624267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476036071777344 y=0.193595886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476036071777344 × 216)
    floor (0.476036071777344 × 65536)
    floor (31197.5)     		tx = 31197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193595886230469 × 216)
    floor (0.193595886230469 × 65536)
    floor (12687.5)     		ty = 12687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31197 / 12687 ti = "16/31197/12687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31197/12687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31197 ÷ 216
    31197 ÷ 65536     		x = 0.476028442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12687 ÷ 216
    12687 ÷ 65536     		y = 0.193588256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476028442382812 × 2 - 1) × π
    -0.047943115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15061774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193588256835938 × 2 - 1) × π
    0.612823486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9252417625407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15061774} λ = -0.15061774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9252417625407))-π/2
    2×atan(6.85680618441236)-π/2
    2×1.42597681718454-π/2
    2.85195363436909-1.57079632675     		φ = 1.28115731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15061774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.629761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28115731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.404907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31197 KachelY 12687 -0.15061774 1.28115731 -8.629761 73.404907
    Oben rechts KachelX + 1 31198 KachelY 12687 -0.15052186 1.28115731 -8.624267 73.404907
    Unten links KachelX 31197 KachelY + 1 12688 -0.15061774 1.28112992 -8.629761 73.403337
    Unten rechts KachelX + 1 31198 KachelY + 1 12688 -0.15052186 1.28112992 -8.624267 73.403337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28115731-1.28112992) × R
    2.73900000000715e-05 × 6371000     		dl = 174.501690000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28115731-1.28112992) × R
    2.73900000000715e-05 × 6371000     		dr = 174.501690000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15061774--0.15052186) × cos(1.28115731) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.285606296535839 × 6371000     		do = 174.463028936223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15061774--0.15052186) × cos(1.28112992) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.285632545554047 × 6371000     		du = 174.479063187844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28115731)-sin(1.28112992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285606296535839-0.285632545554047)×R²
    abs(-0.15052186--0.15061774)×2.62490182083019e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.62490182083019e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.62490182083019e-05×40589641000000     		ar = 30445.4923959118m²