Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31195 / 38061
↖ ↑ ↗
← S 27.902204°
W  8.640747°		 ← 539.84 m → S 27.902204°
W  8.635254°		 →
↑
539.75 m
↓
↑
539.75 m
↓
S 27.907058°
W  8.640747°		 ← 539.81 m →
291 372 m²		 S 27.907058°
W  8.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476005554199219 y=0.580772399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476005554199219 × 216)
    floor (0.476005554199219 × 65536)
    floor (31195.5)     		tx = 31195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580772399902344 × 216)
    floor (0.580772399902344 × 65536)
    floor (38061.5)     		ty = 38061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31195 / 38061 ti = "16/31195/38061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31195/38061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31195 ÷ 216
    31195 ÷ 65536     		x = 0.475997924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38061 ÷ 216
    38061 ÷ 65536     		y = 0.580764770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475997924804688 × 2 - 1) × π
    -0.048004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15080949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580764770507812 × 2 - 1) × π
    -0.161529541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.507460019377914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15080949} λ = -0.15080949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507460019377914))-π/2
    2×atan(0.602022764636243)-π/2
    2×0.54190550001376-π/2
    1.08381100002752-1.57079632675     		φ = -0.48698533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15080949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.640747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48698533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.902204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31195 KachelY 38061 -0.15080949 -0.48698533 -8.640747 -27.902204
    Oben rechts KachelX + 1 31196 KachelY 38061 -0.15071361 -0.48698533 -8.635254 -27.902204
    Unten links KachelX 31195 KachelY + 1 38062 -0.15080949 -0.48707005 -8.640747 -27.907058
    Unten rechts KachelX + 1 31196 KachelY + 1 38062 -0.15071361 -0.48707005 -8.635254 -27.907058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48698533--0.48707005) × R
    8.47199999999826e-05 × 6371000     		dl = 539.751119999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48698533--0.48707005) × R
    8.47199999999826e-05 × 6371000     		dr = 539.751119999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15080949--0.15071361) × cos(-0.48698533) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.883747628786139 × 6371000     		do = 539.838546990462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15080949--0.15071361) × cos(-0.48707005) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88370797972056 × 6371000     		du = 539.814327300072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48698533)-sin(-0.48707005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883747628786139-0.88370797972056)×R²
    abs(-0.15071361--0.15080949)×3.96490655791837e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.96490655791837e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.96490655791837e-05×40589641000000     		ar = 291371.92422892m²