Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31195 / 12681
↖ ↑ ↗
← N 73.414318°
W  8.640747°		 ← 174.37 m → N 73.414318°
W  8.635254°		 →
↑
174.37 m
↓
↑
174.37 m
↓
N 73.412749°
W  8.640747°		 ← 174.38 m →
30 406 m²		 N 73.412749°
W  8.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476005554199219 y=0.193504333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476005554199219 × 216)
    floor (0.476005554199219 × 65536)
    floor (31195.5)     		tx = 31195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193504333496094 × 216)
    floor (0.193504333496094 × 65536)
    floor (12681.5)     		ty = 12681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31195 / 12681 ti = "16/31195/12681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31195/12681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31195 ÷ 216
    31195 ÷ 65536     		x = 0.475997924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12681 ÷ 216
    12681 ÷ 65536     		y = 0.193496704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475997924804688 × 2 - 1) × π
    -0.048004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15080949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193496704101562 × 2 - 1) × π
    0.613006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92581700533614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15080949} λ = -0.15080949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92581700533614))-π/2
    2×atan(6.86075164746047)-π/2
    2×1.42605894102826-π/2
    2.85211788205653-1.57079632675     		φ = 1.28132156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15080949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.640747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28132156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.414318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31195 KachelY 12681 -0.15080949 1.28132156 -8.640747 73.414318
    Oben rechts KachelX + 1 31196 KachelY 12681 -0.15071361 1.28132156 -8.635254 73.414318
    Unten links KachelX 31195 KachelY + 1 12682 -0.15080949 1.28129419 -8.640747 73.412749
    Unten rechts KachelX + 1 31196 KachelY + 1 12682 -0.15071361 1.28129419 -8.635254 73.412749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28132156-1.28129419) × R
    2.7369999999971e-05 × 6371000     		dl = 174.374269999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28132156-1.28129419) × R
    2.7369999999971e-05 × 6371000     		dr = 174.374269999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15080949--0.15071361) × cos(1.28132156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.285448884183162 × 6371000     		do = 174.36687336762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15080949--0.15071361) × cos(1.28129419) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.285475115318241 × 6371000     		du = 174.382896695305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28132156)-sin(1.28129419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285448884183162-0.285475115318241)×R²
    abs(-0.15071361--0.15080949)×2.62311350785471e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.62311350785471e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.62311350785471e-05×40589641000000     		ar = 30406.4932852809m²