Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31194 / 38042
↖ ↑ ↗
← S 27.809928°
W  8.646240°		 ← 540.24 m → S 27.809928°
W  8.640747°		 →
↑
540.26 m
↓
↑
540.26 m
↓
S 27.814786°
W  8.646240°		 ← 540.22 m →
291 865 m²		 S 27.814786°
W  8.640747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475990295410156 y=0.580482482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475990295410156 × 216)
    floor (0.475990295410156 × 65536)
    floor (31194.5)     		tx = 31194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580482482910156 × 216)
    floor (0.580482482910156 × 65536)
    floor (38042.5)     		ty = 38042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31194 / 38042 ti = "16/31194/38042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31194/38042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31194 ÷ 216
    31194 ÷ 65536     		x = 0.475982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38042 ÷ 216
    38042 ÷ 65536     		y = 0.580474853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.04803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15090536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.16094970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.505638417192352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15090536} λ = -0.15090536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505638417192352))-π/2
    2×atan(0.603120410053188)-π/2
    2×0.542710761144494-π/2
    1.08542152228899-1.57079632675     		φ = -0.48537480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15090536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.646240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48537480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.809928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31194 KachelY 38042 -0.15090536 -0.48537480 -8.646240 -27.809928
    Oben rechts KachelX + 1 31195 KachelY 38042 -0.15080949 -0.48537480 -8.640747 -27.809928
    Unten links KachelX 31194 KachelY + 1 38043 -0.15090536 -0.48545960 -8.646240 -27.814786
    Unten rechts KachelX + 1 31195 KachelY + 1 38043 -0.15080949 -0.48545960 -8.640747 -27.814786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48537480--0.48545960) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dl = 540.260799999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48537480--0.48545960) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dr = 540.260799999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15090536--0.15080949) × cos(-0.48537480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884500152082124 × 6371000     		do = 540.24187545489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15090536--0.15080949) × cos(-0.48545960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884460586318171 × 6371000     		du = 540.217709170156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48537480)-sin(-0.48545960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884500152082124-0.884460586318171)×R²
    abs(-0.15080949--0.15090536)×3.95657639535862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95657639535862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95657639535862e-05×40589641000000     		ar = 291864.979953605m²