Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31193 / 38056
↖ ↑ ↗
← S 27.877928°
W  8.651733°		 ← 539.90 m → S 27.877928°
W  8.646240°		 →
↑
539.88 m
↓
↑
539.88 m
↓
S 27.882784°
W  8.651733°		 ← 539.88 m →
291 476 m²		 S 27.882784°
W  8.646240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475975036621094 y=0.580696105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475975036621094 × 216)
    floor (0.475975036621094 × 65536)
    floor (31193.5)     		tx = 31193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580696105957031 × 216)
    floor (0.580696105957031 × 65536)
    floor (38056.5)     		ty = 38056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31193 / 38056 ti = "16/31193/38056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31193/38056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31193 ÷ 216
    31193 ÷ 65536     		x = 0.475967407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38056 ÷ 216
    38056 ÷ 65536     		y = 0.5806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475967407226562 × 2 - 1) × π
    -0.048065185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15100123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5806884765625 × 2 - 1) × π
    -0.161376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506980650381714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15100123} λ = -0.15100123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506980650381714))-π/2
    2×atan(0.602311424866472)-π/2
    2×0.542117344374991-π/2
    1.08423468874998-1.57079632675     		φ = -0.48656164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15100123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.651733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48656164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.877928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31193 KachelY 38056 -0.15100123 -0.48656164 -8.651733 -27.877928
    Oben rechts KachelX + 1 31194 KachelY 38056 -0.15090536 -0.48656164 -8.646240 -27.877928
    Unten links KachelX 31193 KachelY + 1 38057 -0.15100123 -0.48664638 -8.651733 -27.882784
    Unten rechts KachelX + 1 31194 KachelY + 1 38057 -0.15090536 -0.48664638 -8.646240 -27.882784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48656164--0.48664638) × R
    8.47399999999721e-05 × 6371000     		dl = 539.878539999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48656164--0.48664638) × R
    8.47399999999721e-05 × 6371000     		dr = 539.878539999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15100123--0.15090536) × cos(-0.48656164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883945821045196 × 6371000     		do = 539.903296837002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15100123--0.15090536) × cos(-0.48664638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883906194351314 × 6371000     		du = 539.879093337014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48656164)-sin(-0.48664638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883945821045196-0.883906194351314)×R²
    abs(-0.15090536--0.15100123)×3.96266938815781e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96266938815781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96266938815781e-05×40589641000000     		ar = 291475.670336718m²