Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31193 / 12696
↖ ↑ ↗
← N 73.390781°
W  8.651733°		 ← 174.59 m → N 73.390781°
W  8.646240°		 →
↑
174.63 m
↓
↑
174.63 m
↓
N 73.389211°
W  8.651733°		 ← 174.61 m →
30 490 m²		 N 73.389211°
W  8.646240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475975036621094 y=0.193733215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475975036621094 × 216)
    floor (0.475975036621094 × 65536)
    floor (31193.5)     		tx = 31193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193733215332031 × 216)
    floor (0.193733215332031 × 65536)
    floor (12696.5)     		ty = 12696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31193 / 12696 ti = "16/31193/12696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31193/12696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31193 ÷ 216
    31193 ÷ 65536     		x = 0.475967407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12696 ÷ 216
    12696 ÷ 65536     		y = 0.1937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475967407226562 × 2 - 1) × π
    -0.048065185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15100123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1937255859375 × 2 - 1) × π
    0.612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92437889834753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15100123} λ = -0.15100123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92437889834753))-π/2
    2×atan(6.85089224370715)-π/2
    2×1.4258535465008-π/2
    2.8517070930016-1.57079632675     		φ = 1.28091077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15100123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.651733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28091077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.390781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31193 KachelY 12696 -0.15100123 1.28091077 -8.651733 73.390781
    Oben rechts KachelX + 1 31194 KachelY 12696 -0.15090536 1.28091077 -8.646240 73.390781
    Unten links KachelX 31193 KachelY + 1 12697 -0.15100123 1.28088336 -8.651733 73.389211
    Unten rechts KachelX + 1 31194 KachelY + 1 12697 -0.15090536 1.28088336 -8.646240 73.389211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28091077-1.28088336) × R
    2.740999999995e-05 × 6371000     		dl = 174.629109999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28091077-1.28088336) × R
    2.740999999995e-05 × 6371000     		dr = 174.629109999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15100123--0.15090536) × cos(1.28091077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285842558732097 × 6371000     		do = 174.589139019068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15100123--0.15090536) × cos(1.28088336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285868824986172 × 6371000     		du = 174.60518212582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28091077)-sin(1.28088336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285842558732097-0.285868824986172)×R²
    abs(-0.15090536--0.15100123)×2.62662540747582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.62662540747582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.62662540747582e-05×40589641000000     		ar = 30489.746761065m²