Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31191 / 20173
↖ ↑ ↗
← N 56.713551°
W  8.662720°		 ← 335.22 m → N 56.713551°
W  8.657227°		 →
↑
335.24 m
↓
↑
335.24 m
↓
N 56.710536°
W  8.662720°		 ← 335.24 m →
112 383 m²		 N 56.710536°
W  8.657227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475944519042969 y=0.307823181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475944519042969 × 216)
    floor (0.475944519042969 × 65536)
    floor (31191.5)     		tx = 31191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307823181152344 × 216)
    floor (0.307823181152344 × 65536)
    floor (20173.5)     		ty = 20173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31191 / 20173 ti = "16/31191/20173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31191/20173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31191 ÷ 216
    31191 ÷ 65536     		x = 0.475936889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20173 ÷ 216
    20173 ÷ 65536     		y = 0.307815551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475936889648438 × 2 - 1) × π
    -0.048126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15119298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307815551757812 × 2 - 1) × π
    0.384368896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20753050142921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15119298} λ = -0.15119298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20753050142921))-π/2
    2×atan(3.34521344406461)-π/2
    2×1.280317261643-π/2
    2.56063452328601-1.57079632675     		φ = 0.98983820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15119298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.662720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98983820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.713551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31191 KachelY 20173 -0.15119298 0.98983820 -8.662720 56.713551
    Oben rechts KachelX + 1 31192 KachelY 20173 -0.15109711 0.98983820 -8.657227 56.713551
    Unten links KachelX 31191 KachelY + 1 20174 -0.15119298 0.98978558 -8.662720 56.710536
    Unten rechts KachelX + 1 31192 KachelY + 1 20174 -0.15109711 0.98978558 -8.657227 56.710536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98983820-0.98978558) × R
    5.26199999999477e-05 × 6371000     		dl = 335.242019999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98983820-0.98978558) × R
    5.26199999999477e-05 × 6371000     		dr = 335.242019999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15119298--0.15109711) × cos(0.98983820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548825122402193 × 6371000     		do = 335.215672632005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15119298--0.15109711) × cos(0.98978558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.54886910865728 × 6371000     		du = 335.242538898661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98983820)-sin(0.98978558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548825122402193-0.54886910865728)×R²
    abs(-0.15109711--0.15119298)×4.39862550872805e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39862550872805e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39862550872805e-05×40589641000000     		ar = 112382.882605131m²