Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31190 / 38054
↖ ↑ ↗
← S 27.868217°
W  8.668213°		 ← 540.01 m → S 27.868217°
W  8.662720°		 →
↑
539.94 m
↓
↑
539.94 m
↓
S 27.873073°
W  8.668213°		 ← 539.98 m →
291 567 m²		 S 27.873073°
W  8.662720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475929260253906 y=0.580665588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475929260253906 × 216)
    floor (0.475929260253906 × 65536)
    floor (31190.5)     		tx = 31190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580665588378906 × 216)
    floor (0.580665588378906 × 65536)
    floor (38054.5)     		ty = 38054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31190 / 38054 ti = "16/31190/38054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31190/38054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31190 ÷ 216
    31190 ÷ 65536     		x = 0.475921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38054 ÷ 216
    38054 ÷ 65536     		y = 0.580657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.04815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15128886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.16131591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.506788902783234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15128886} λ = -0.15128886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506788902783234))-π/2
    2×atan(0.602426927709069)-π/2
    2×0.542202095418155-π/2
    1.08440419083631-1.57079632675     		φ = -0.48639214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15128886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48639214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.868217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31190 KachelY 38054 -0.15128886 -0.48639214 -8.668213 -27.868217
    Oben rechts KachelX + 1 31191 KachelY 38054 -0.15119298 -0.48639214 -8.662720 -27.868217
    Unten links KachelX 31190 KachelY + 1 38055 -0.15128886 -0.48647689 -8.668213 -27.873073
    Unten rechts KachelX + 1 31191 KachelY + 1 38055 -0.15119298 -0.48647689 -8.662720 -27.873073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48639214--0.48647689) × R
    8.47500000000223e-05 × 6371000     		dl = 539.942250000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48639214--0.48647689) × R
    8.47500000000223e-05 × 6371000     		dr = 539.942250000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15128886--0.15119298) × cos(-0.48639214) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884025064738971 × 6371000     		do = 540.008019152855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15128886--0.15119298) × cos(-0.48647689) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.883985446066724 × 6371000     		du = 539.983818028277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48639214)-sin(-0.48647689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884025064738971-0.883985446066724)×R²
    abs(-0.15119298--0.15128886)×3.96186722472214e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.96186722472214e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.96186722472214e-05×40589641000000     		ar = 291566.611449173m²