Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31190 / 19478
↖ ↑ ↗
← N 58.751107°
W  8.668213°		 ← 316.88 m → N 58.751107°
W  8.662720°		 →
↑
316.89 m
↓
↑
316.89 m
↓
N 58.748257°
W  8.668213°		 ← 316.91 m →
100 422 m²		 N 58.748257°
W  8.662720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475929260253906 y=0.297218322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475929260253906 × 216)
    floor (0.475929260253906 × 65536)
    floor (31190.5)     		tx = 31190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297218322753906 × 216)
    floor (0.297218322753906 × 65536)
    floor (19478.5)     		ty = 19478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31190 / 19478 ti = "16/31190/19478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31190/19478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31190 ÷ 216
    31190 ÷ 65536     		x = 0.475921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19478 ÷ 216
    19478 ÷ 65536     		y = 0.297210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.04815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15128886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297210693359375 × 2 - 1) × π
    0.40557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27416279190109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15128886} λ = -0.15128886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27416279190109))-π/2
    2×atan(3.57570654613458)-π/2
    2×1.29809828865761-π/2
    2.59619657731522-1.57079632675     		φ = 1.02540025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15128886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02540025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.751107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31190 KachelY 19478 -0.15128886 1.02540025 -8.668213 58.751107
    Oben rechts KachelX + 1 31191 KachelY 19478 -0.15119298 1.02540025 -8.662720 58.751107
    Unten links KachelX 31190 KachelY + 1 19479 -0.15128886 1.02535051 -8.668213 58.748257
    Unten rechts KachelX + 1 31191 KachelY + 1 19479 -0.15119298 1.02535051 -8.662720 58.748257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02540025-1.02535051) × R
    4.97399999999093e-05 × 6371000     		dl = 316.893539999422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02540025-1.02535051) × R
    4.97399999999093e-05 × 6371000     		dr = 316.893539999422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15128886--0.15119298) × cos(1.02540025) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.51875674590833 × 6371000     		do = 316.883325998063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15128886--0.15119298) × cos(1.02535051) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.518799269081418 × 6371000     		du = 316.909301341278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02540025)-sin(1.02535051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51875674590833-0.518799269081418)×R²
    abs(-0.15119298--0.15128886)×4.25231730880604e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.25231730880604e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.25231730880604e-05×40589641000000     		ar = 100422.394672149m²