Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31189 / 38055
↖ ↑ ↗
← S 27.873073°
W  8.673706°		 ← 539.93 m → S 27.873073°
W  8.668213°		 →
↑
539.94 m
↓
↑
539.94 m
↓
S 27.877928°
W  8.673706°		 ← 539.90 m →
291 523 m²		 S 27.877928°
W  8.668213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475914001464844 y=0.580680847167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475914001464844 × 216)
    floor (0.475914001464844 × 65536)
    floor (31189.5)     		tx = 31189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580680847167969 × 216)
    floor (0.580680847167969 × 65536)
    floor (38055.5)     		ty = 38055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31189 / 38055 ti = "16/31189/38055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31189/38055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31189 ÷ 216
    31189 ÷ 65536     		x = 0.475906372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38055 ÷ 216
    38055 ÷ 65536     		y = 0.580673217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475906372070312 × 2 - 1) × π
    -0.048187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15138473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580673217773438 × 2 - 1) × π
    -0.161346435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.506884776582474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15138473} λ = -0.15138473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506884776582474))-π/2
    2×atan(0.602369173519346)-π/2
    2×0.542159718946887-π/2
    1.08431943789377-1.57079632675     		φ = -0.48647689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15138473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.673706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48647689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.873073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31189 KachelY 38055 -0.15138473 -0.48647689 -8.673706 -27.873073
    Oben rechts KachelX + 1 31190 KachelY 38055 -0.15128886 -0.48647689 -8.668213 -27.873073
    Unten links KachelX 31189 KachelY + 1 38056 -0.15138473 -0.48656164 -8.673706 -27.877928
    Unten rechts KachelX + 1 31190 KachelY + 1 38056 -0.15128886 -0.48656164 -8.668213 -27.877928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48647689--0.48656164) × R
    8.47500000000223e-05 × 6371000     		dl = 539.942250000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48647689--0.48656164) × R
    8.47500000000223e-05 × 6371000     		dr = 539.942250000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15138473--0.15128886) × cos(-0.48647689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883985446066724 × 6371000     		do = 539.927499315538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15138473--0.15128886) × cos(-0.48656164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883945821045196 × 6371000     		du = 539.903296837002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48647689)-sin(-0.48656164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883985446066724-0.883945821045196)×R²
    abs(-0.15128886--0.15138473)×3.96250215278782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96250215278782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96250215278782e-05×40589641000000     		ar = 291523.135021694m²